CHAPITRE PREMIER

Jiapports et Proportion des Lignes.

352. Rapport miinériqne. Le rapport de deux quantités est Je nombre de fois que l’une d’elles contient l’autre.

Il résulte de là , qu’un rapport est toujours un nombre. Cependant il arrive souvent, dans l’énoncé d’un principe ou dans le cours d’une démonstration , que l’on exprime un rapport par des lettres; c’est pourquoi on donne plus particulièrement le nom de rapport numérique h celui qui est exprimé en cliilfres.

353. Le plus simple de tous les rapports est celui que l’on peut exprimer avec un seul nombre entier. Ainsi , par exemple, si la droite AB,/%. 1, PI. 9, conlient exactement trois fois la ligne CD , on dira que le rapport de AB à CD

est égal a 3, et 1 on écrira p— = 3.

En ])laçant le diviseur 1 au-dessous du second membre de celte équation , on aura

Gc ({ui tlonne la proportion

AB : CD :: 3 : i.

3!S4. Si l'on met les extrêmes à la place des moyens, on aura CD ; AB : : 1 : 3 ,

ou , ce qui est la même chose ,

CD i AB “ 3’

Ainsi le rapport de CD à AB est égal à -.

355. En multipliant l’une des deux quantités proposées par le rapport qui existe entre elles, on a l’ex^ression de la deuxième en fonction de la première.

Ainsi , lorsqu’on dit que AB = SCD, on exprime la valeur de AB en fonction de CD ; tandis que si l’on disait

CD = i AB , on aurait exprimé la valeur de CD en fonc-

tion de AB.

356. Lorsque l’une des deux quantités que l’on compare n'est pas contenue dans l’autre un nombre exact de lois, on ne peut plus exprimer leur rapport par un seul nombre entier; mais s’il existe une troisième ligne dont la longueur soit exactement contenue dans chacune des deux lignes données, le rapport numérique de ces deux dernières quantités peut encore être exprimé d’une manière trèssimple. Ainsi, par exemple, supposons que la petite quantité m , 2, soit contenue exactement 7 fois dans la ligne AB et 5 fois dans la ligne CD , on aura AB =7m,

CD = 5m.

Si l’on divise la première équation par la seconde, on

-obtient

AB 7m

HAPPUnTS NlJMÉKiLjUiS. 9.H

Mais on <loit se rappeler qu’un rapport ne cliange pas lorsque l’on multiplie ou que l'on divise ses deux termes par un même nombre. Ainsi , on pourra supprimer le fac-

teur m , ce qui donnera — ^-=-,

^ CD 5

<|ue l’on peut écrire si l’on veut de la manière suivante : AB : CD 7 : 5.

Ainsi , la fraction - , ou, ce qui est la même chose, 7 ; 6,

est le rapport numérique des deux lignes données AB, CD. Cela veut dire que la première de ces lignes contient sept fois la cinquième partie de la seconde , ou que celleci contient cinq fois la septième partie de la première.

La ligne m, contenue exactement sept fois dans AB et cinq fois dans CD, est ce que l’on appelle leur commune mesure.

357. Pour obtenir cette commune mesure, on pourrait opérer de la manière suivante: Soient, f g. 3, les deux lignes AB, CD, dont il faut trouver le rapport numérique, on portera la plus petite CD de A en B autant de fois qu’elle pourra y être contenue; supposons, par exemple, 3 fois depuis A jusqu’à E ; on aura donc AB = AE -f- EB = 3CD -f- EB.

On portera ensuite EB sur CD de C en D , et si elle est contenue par exemple 5 fois <le C en F, on aura

^ CD = CF-f-FD = 5EB4-FD.

EuGn , si nous supposons que la ligne FD soit contenue exactemeni 2 fois dans EB, nous aurons EB = 2FD.

Alors FD sera la commune mesure demandée, et si nous représentons sa longueur par m , nous aurons EB = 2m ,

OÉOMKTRIF. PLANT.

par conséquent

CD = 5EB FD = 5 X 2w -|- m = 11»/, AB = 3CD + EB = 3x llm+ 2»/ = 35»/.

Ainsi, AB = 35»/ J

CD = 1 l»t.

Divisant AB par CD , on obtient AB 35»/ 35

CD“iÏto~ÎT’

que l’on peut écrire sous la forme d’une proportion AB :CD :: 35 ; 11 ;

par conséquent — ou 35 ; 11 , est le rapport numen/juc

des deux droites AB , CD.

358. On aura sans doute reconnu l’aualogie qui existe entre l’opération que nous venons d'indiquer et celle que l’on emploie dans l’arithmétique pour trouver le. plus grand commun diviseur entre deux nombres.

En général, pour trouver le rapport numérique entre deux quantités, il faut;

1“ Chercher leur commune mesure ;

2” Exprimer les valeurs de ces qunutites en Jonction de leur commune mesure (355) ;

3" Diviser l’une de ces valeurs par l'autre , et supprimer le facteur qui représente la mesure commune.

Il ne reste plus alors que les deux nombres abstraits qui forment les termes du r.ipport numérique demandé.

359. La suppression du facteur commun m met en évidence un fait important: c’est (jue le rapport qui existe entre deux quantités est indépendant de la quantité auxiliaiie employée comme mesure commune.

En elTél , si au lieu de prendre FD pour terme de com-

RAPPORTS HOMERIQUES.

paraison on eût pris la moitié de FD , on aurait eu , en représentant cette moitié par m',

AB = 35m = 70m',

CD = 11m = 22m'j,- AB 70m' 70 35

CD“ 22m'“22~ll

Si l’on eût pris pour commune mesure une quantité m", contenue 1000 fois dans FD , on aurait eu AB 35 X 1000 m ' 35000 35

CD “il X 1000m"~ 11000 ~ 11'

360. Si l’on voulait obtenir le rapport numérique qui existe entre deux arcs d’un même cercle ou de cercles égaux , on pourrait opérer comme pour deux lignes droites. Ainsi, par exemple, étant donnés, fig. 7, les deux arcs AB , CD , décrits avec des rayons égaux , on ouvrira le compas d’une quantité égale à CD ; et du point A , comme centre , on tracera l’arc VU , ce qui déterminera un arc AE égal à CD , puisqu’ils auront des cordes égales ; de sorte que l’on aura