AB = AE H- EB = CD -{- EB

On portera ensuite l’arc EB de C en D , et s’il est contenu , par exemple , 2 fois de C en F , on aura CD = CF -f- FD = 2EB + FD.

Enfin , si nous supposons que l’arc FD soit contenu exactement 3 fois dans EB , nous aurons EB =: 3FD.

Alors FD sera la commune mesure, et, si nous représentons sa longueur par m, nous aurons EB = 3m,

CD = 2EB -j- FD = 2 X 3m m = 7m,

AB = CE -j- EB = 7m -f- 3m = 10 m.

Ainsi , AB = 10m,

CD = 7m.

98 CÉOHÉTBIE PLANE. PL. 9.

Divisant AB par CD , on obtient AB 10m 10

cS ~ 7^ — T'

d’où l’on conclut

Par conséquent ^ ou 10 : 7, est le rapport numérique des deux arcs AB, CD.

361. Rapport Inconuneiuiurable. Nous avons supposé, dans l’article 357, que la quantité FD,y<^. 3, était contenue nombre exact de fois dans chacune des deux droites AB, un CD ; mais cela n’aura pas toujours lieu , parce que les deux quantités que l’on compare n’ont pas nécessairement entre elles une commune mesure.

Il pourrait arriver, par exemple, que la ligne FD étant portée sur EB , elle y fût contenue deux fois plus un reste; que ce reste, porté sur FD, y fût lui-méme contenu un certain nombre de fois plus un reste; que ce dernier reste, porté sur le reste précédent, y fût encore contenu un certain nombre de fois plus un reste , et ainsi de suite. Enfin , il serait possible qu’en continuant toujours à opérer de la même manière, on ne parvint jamais à un reste exactement contenu dans le reste précédent.

On conclurait de là qu’il n'existe pas de commune mesure entre les deux quantités que l’on compare , c’est-àdire qu’aucune partie exacte de l’une de ces quantités ne peut être exactement contenue dans l’autre, et réciproquement. Dans ce cas , le rapport demandé ne peut pas être exprimé exactement en nombre, et l’on dit alors qu’il est incommensurable .

PL. 9 . RAPPORTS RUMÉRIQÜES.

362. On pourrnit dire que, dans le. rappoit incûmmensurable, la commune mesure est infiniment petite.

363. Il ne faut pas confondre un rapport incommensurable avec celui dont les termes seraient deux fractions. Ainsi, par exemple, si l’on avait la proportion

il est évident que cela reviendrait à dire

A:B = Ml = 5ül3=il^ = m:77;

d’où l’on doit conclure que le rapport des quantités A et B est commensurable , puisqu’il existe entre elles une commune mesure qui est contenue 115 fois dans la première et 77 fois dans la seconde.

36i^. L’opération indiquée aux numéros 357 et 360 , peut bien faire comprendre ce que l’on entend par la commune mesure de deux droites ou de deux arcs de cercles ; mais elle n’est pas de nature à mettre en évidence l’existence de cette quantité, et par conséquent elle ne peut pas servir pour en déterminer exactement la valeur. Ën effet , on conçoit qu’en opérant comme nous l’avons dit, on ânira toujours par arriver à un reste si petit , qu’il sera impossible de reconnaître par la superposition, si ce reste est, ou n’est pas exactement contenu dans le reste précédent.

Ainsi , ce n’est pas par des opérations de compas , que l’on pourra reconnaître dans quel cas un rapport est commensurable. La décision de cette question , dans chaque cas particulier, dépendra de principes qui seront établis plus tard , et nous ne devons considérer ce qui précède que comme une définition de ce que l’on entend par rapport incommensurable , et comme un avertissement nécessaire pour l’intelligence des théorèmes suivants.