AB : CD :: A'B' : C D

367. Ce que nous venons de dire est également vrai lorsque le rapport est incommensurable, et pour démontrer dans ce cas l’existence de la proportion , il suffit do prouver que les deux rapports sont égaux sans qu’il soit nécessaire de calculer leur valeur.

368. Tbéoréme. Lorsqu’une droite est parallèle à l’un des côtés d’un triangle , elle coupe les deux autres côtés en parties proportionnelles.

Démonstration- Fig. 5. Admettons que l’on ait la proportion AD : DB : 3,

ce qui revient à supposer qu’il existe une' commune mesure Ai^ qui serait contenue quatre fois dans AD et trois fois dans DB. Partageons AD en quatre parties égales ; il est évident que DB en contiendra trois. Concevons ensuite les droites vu , is , kz, parallèles à BC , et les droites iip , sq, zx , parallèles à AB , on aura

up = vi, comme parallèles entre parallèles ; mais vi = Av, par construction.

CÉOMETME PLANE.

Ajoutant et réduiBant, on aura up = A»'.

De plus , l’angle A =s pus, comme internes-externes , et l’angle h.vu — ups, comme ayant leurs cô-

tés parallèles. Ainsi les deux triangles Ap’U , ups , sont égaux (145) et l’on a Au=^us.

On démontrerait de la même manière que toutes les parties sz, zH, Ho, etc., sont égales à Au, et par conséquent égales entre elles.

Or, si nous prenons l’une de ces parties égales pour terme de comparaison , et que nous exprimions sa valeur par m, nous aurons AH = km ,

HC = 3m.

Divisant la obtient

première équation par la deuxième , on AH km HC 3m ’

d’où , en supprimant le facteur m ,