Théorème. Fig. 12. La droite qui divise en deux

parties égales V angle d'un triangle, divise le côté opposé en deux parties proportionnelles aux côtés correspondants de V angle partagé, de sorte que Von doit avoir la proportion DB : DC t: AB : AC.

Démonstration. Par le point B , concevons la droite BM parallèle à la bissectrice AD, et supposons le côté AC prolongé jusqu’au point M , on aura l’angle MBA = BAD , comme alternes-intemes ,

l’angle DAC = BMA, comme internes-externes.

De plus , on a

l’angle BAD = DAC , par construction.

Ajoutant ces trois équations et réduisant , il viendra l’angle MBA = BMA.

PL. 9. LIGNES PROPOUTIONNELLES. 107

Par conséquent le triangle MA6 est isocèle; d'où il résulte que AM = AB.

Mais le parallélisme des droites AD, MB, donnera lu proportion DB ; DC ;; AM : AC.

Remplaçant AM par son égal AB , on obtiendra (1) DB : DC AB : AC.

377. Corollaire. Si, au lieu de partager en deux parties égales l’angle intérieur BAC, on divisait, H, l’angle extérieur BAH, formé par le côté AB et par le prolongement de AC , on aurait encore la proportion