DB : DC :: AB : AC

En efiet , dans ce cas , la droite BM , menée par le point B parallèlement à la bissectrice DA , serait dirigée dans l’intérieur du triangle , et l’on aurait alors l’angle MBA = BAD , comme alternes-internes,

l’angle DAH = BMA, comme internes-externes,

l’angle BAD = DAH , par construction.

Ajoutant et réduisant , on obtient '

l’angle MBA=BMA;

donc le triangle ABM est isocèle , et l’on a AB = AM.

Mais le parallélisme des lignes DA et BM donne la proportion DB t DC :: AM : AC.

Remplaçant AM par son égal AB , il vient (2) DB ; DC AB : AC.

378. Remarque. L’identité qui existe entre les proportions (1) et (2) , permet de les considérer comme les conséquences d’un même principe , que nous énoncerons de la manière suivante :

La droite qui partage en deux parties égales l'angle formé par les deux côtés d’un triangle, détermine, sur le

troisième côté, deux segments, qui sont entre eux comme les côtés correspondants de l’angle partagé.

379. Par le mot segments, il ne faut pas entendre deux parties d'une droite donnée , mais les distances du point de section aux extrémités de la droite coupée. Ainsi, 13, lorsque la droite BG est rencontrée par une sécante AS, les deux segments sont DB et DG, tandis que si la sécante A'S' ne coupait la droite BG que dans son prolongement , les segments seraient D'B et D'G.