PL. 10. TRIANGLES SEMBLABLES

381. Deux Jigures sont semblables lorsqu’elles ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels'.

382. Les côtés, les lignes, les angles homologues, sont les parties correspondantes des deux figures.

383. Il résulte de la définition précédente, que deux conditions sont essentielles pour qu’il y ait similitude entre deux figures. Ainsi , lorsque deux polygones ont les angles égaux et que les côtés ne sont pas proportionnels , ils ne sont pas semblables; pareillement, la proportion des côtés ne suffirait pas pour établir la similitude si l’égalité des angles n’existait pas. Mais , dans les triangles , l’une des deux conditions de la similitude ne peut jamais avoir lieu toute seule, et lorsque l’on a reconnu l’existence de l’une d’elles on peut en conclure celle de l’autre. C’est ce qui va être développé dans les articles suivants.

Triangles semblables.

38Ii. Théorème. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont leurs angles égaux chacun à chacun.

Démonstration. Fig. 1 . Soient les deux triangles ABC, DOH , tels que l’on ait l’angle A = D, l’angle B = O et l’angle C = H. Portons le côté DO de A en K, et le côté DH de A en S , le triangle AKS sera égal à DOH , comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; on aura donc l’angle AKS = DOH ;

mais on a DOH = ABC.

Ajoutant et réduisant , on obtient l’angle AKS = ABC ;

«ÉOMÉTRII FLANE.

donc la ligne KS est parallèle à BC; d'où il résulte que AB : AK AC : AS;

mais on a (372) AC ; AS :: BC : KS;

on aura donc , à cause du rapport commun,