AB : AK ;; AC : AS BC : KS

Si l’on remplace actuellement les trois lignes AK, AS et KS , par leurs égales DO , DH et OH , on aura AB ; DO :: AC : DH BC ; OH.

Ainsi , les deux triangles ABC , DOH , ont leurs côtés proportionnels chacun il chacun , et puisqu’on outre ils avaient les angles égaux, il s’ensuit qu’ils satisfont aux deux conditions exigées par la définition du numéro 381 , et que par conséquent iis sont semblables.

385. corollaire I. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux angles égaux chacun à chacun , puisque l’on sait , dans ce cas , que les troisièmes angles sont pareillement égaux (113).

386. Cor. II. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont les côtés parallèles chacun à chacun, puisque l’on a démontré (87) que les angles qui ont les côtés parallèles sont égaux.

387. cor. III. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun : cela est une conséquence du théorème démontré au numéro 89 ; mais on pourrait encore parvenir au même résultat en raisonnant de la manière suivante :

Soient ,//g. 2 , les deux triangles ABC , DOH , tels que l’on ait AB perpendiculaire sur DO ; AC perpendiculaire sur DH ; et BC perpendiculaire sur OH. Prolongeons les côtés de ces triangles jusqu’à ce que chacun d’eux rencontre celui auquel il est perpendiculaire , nous aurons, dans le quadrilatère KBSO , la somme des quatre angles

KBS -}- BSO -f- SOK -f- OKB = k angles droits (122) ;

PL. 10. TAIANGLES SEMBLABLES,

mais , par l’énoncé du théorème , on a 1 angle droit = 0KB,

1 angle droit = BSO ; de plus, 3 angles droits = SOK KOH (60).

Ajoutant et réduisant, il restera l’angle KBS = KOH ,

ou , ce qui est la même chose , t’angle ABC = DOH.

Si l’on considère ensuite le quadrilatère UCSH , ou a i angles droits = UCS -f- CSH SHU + H UC ; mais , par l’énoncé du théorème , on a ÇSH =c 1 angle droit ,

HUC = 1 angle droit ;

de plus ,

BCU -|~ UCS = 2 angles droits.

Ajoutant et réduisant , il restera l’angle BCU = SHU ,

ou , ce qui revient au même, l’angle BCA = OHD.

Ainsi , les deux angles ABC, BCA , étant égaux chacun à chacun aux deux angles DOH et OHD , il s’ensuit que les deux triangles ABC , DOH , sont semblables (385).

Si l’on voulait démontrer l’égalité des deux angles BAC, HDO, on dirait

VAK -f- AVK = 1 angle droit

DVU = AVK

1 angle droit = DVU + UDV

UDV = HDO

Ajoutant et réduisant il resterait VAK = HDO , et , par conséquent ,

BAC =DHO.

112 GÉOUiTME PLANE. FL. 10.

Lorsque l’on a reconnu la similitude de deux triangles , on doit se rappeler que les côtés homologues sont toujours opposés aux angles égaux. Ainsi, dans l’exemple qui précède , le côté AC , opposé à l’angle B du triangle ABC , sera l’homologue du côté DH , opposé à l’angle O dans le triangle DOH. Par la même raison le côté AB sera l’homologue de DO et le côté BC sera l'homologue de OH , ce qui donnera par conséquent