FIGURES SEMBLABLES

Oémonstration. Fig. 7. Les lignes homologues , étant également inclinées par rapport aux côtés homologues (i^08), elles se couperont suivant des angles égaux dans les deux figures, et les triangles formés par leur rencontre seront semblables.

Ainsi , par exemple , si les deux droites MN , mn , sont homologues, on a l’angle EMV =emv ; mais l’angle MEV du triangle HEK est égal à l’angle mev du triangle hék^ donc les deux triangles EMV. enu', sont semblables, puisqu’ils ont deux angles égaux chacun a chacun.

Les deux triangles EMV, emv, étant semblables , on a l’angle EVM = evm ,

par conséquent , l’angle ÜVK est égal à l’angle uvk ; mais l’angle VKU = vku;

donc les deux triangles UVK, uvk, sont semblables.

Si l’on prolonge les côtés HE, CD. jusqu’au point P, et les côtés lie, cd, jusqu’au point p, on aura deux triangle.s PED, ped, qui 'seront semblables ^ car l’angle PDE, supplément de EDN , sera égal à l'angle pde, supplément de edn , et l’angle PED, supplément de DEM, sera égal à l’angle ped, supplément de l’angle dem.

Les deux triangles PED, ped, étant semblables, on aura l’angle P égal à l’angle p; mais on avait l’angle EMN égala emn, par la dé&uition des lignes homologues; donc les deux triangles PMN , pmn , sont semblables,

I omme ayant deux angles égaux.

Par une suite de raisonnements analogues , on prouverait la .limililude de tous les triangles, et , par corné- (jiieiii , de tous les polygones formés par la rencontre des lignes homologues (398).

/rl3. Tbéoréme. Dans deux Jigures semblables, les lignes homologues sont entre elles comme les côtés.

Démonstration. Fig. 7. Les triangles P£D« ped, étant semblables , on a PE :pe :: ED : ed; mais les droites MN , mn , étant des lignes homologues , elles partagent les deux côtés EH, eh, en parties proportionnelles , et l’on a par conséquent

Em ; em : ; EH eh y. ED ‘ ed ; donc, b cause du rapport commun , on aura PE -, pe :: EM .' em ED ; ed ; d’où , en composant,

(PE -j- EM) : {pe em) ;; ED : ed , et par conséquent

PM ; pm ;; ED ; ed f

mais, les deux triangles PMN , pmn , étant semblables, on a PM ; pm ;; MN ‘ mn ;

comparant les deux proportions , on obtient MN r mn ;; ED : ed.

Ainsi, les deux lignes homologues MN, mn, sont entre elles comme deux côtés homologues quelconques des polygones dans lesquels elles sont tracées.

kih. OoroUalre. Par des raisonnements analogues on arriverait facilement à prouver que

EH ‘.eh EV : KV : :: VU : i^u, etc.-,

d’où il résulte que les segments formés par les intersections des lignes homologues , sont entre eux comme deux côtés homologues quelconques des figures auxquelles ils appartiennent .

MS. Tbéorème. Les périmètres ou contours de deux: polygones semblables, sont entre eux comme deux côtés, et, par conséquent, comme deu.x lignes homologues quelconques de ces polygones .

Pt. 10.