FIGURES SEMBLABLES

Démonstration. Fig- 7- Les deux polygones EHKBGD, ehkbcd , étant semblables, ou a

EH ; eh ;; HK : hk KB : kb . etc. ;

<l’où l’on tire , en combinant les antécédents comme les conséquents ,

(EH 4- hk -f- EB etc.) : (eh -|- AA -(- kb elc.)

EH : eh EK : ek MN : n,n;

donc périmètre EHKBCD : périmètre ehkbcd :: EH ; eh EK ; eA :: MN ; mn.

416. Théorème. Les périmètres des polygones réguliers d’un même nombre de côtés sOnl entre eux comme les rayons des cercles circonscrits et aussi comme les rajons des cercles inscrits.

Démonstration. Fig. 6. Les deux polygones ABC, abc, étant semblables (403) , on a , par le théorème précédent , périmètre ABCD , etc. ; périmètre abcd , etc. AB : ab ; mais , si l’on trace les rayons OA , OB , OS , oa , ob , os , les deux triangles isocèles AOB , aob , seront semblables , puisque les angles aux centres AOB , aob , sont les mêmes daus les deux polygones (155) , on aura donc AB : ab OA ; oa :: OS : os.

Comparant cette suite de rapports avec la proportion précédente, et supprimant le rapport commun AB : <iA , on obtient

périmètre ABCD , etc : périmètre abcd , elc.

:: OA r oa :: OS i os.

417. Corollaire I. Si l’on multipliait jusqu’à l’inbni le nombre des côtés des deux polygones , cela ne changerait rien au principe que nous venons de démontrer, mais

(iÉOMÉTME PL4NE.

Pli. 10.

alors le cercle inscrit se confonilrait avec le cercle circonscrit et leurs rayons seraient égaux. Ainsi , nous pourrons admettre que

Les circonférences des cercles sont entre èlles comme leurs rayons.

%18. Cor. II. Le rapport des diamètres étant évidemment le même que celui des rayons , on en conclut que

Les circonférences sont entre elles comme leurs diamètres.

fcl9. Cor. III. En général les circonférences des cercles sont entre elles comme leurs lignes homologues .

On appelle lignes homologues dans deux cercles, celles qui sont placés semblablement. Ainsi, par exemple, si nous supposons, fig. 10, que l’angle VOU soit égal à l’angle vou, les cordes VU , vu, seront des cordes homologues . les perpendiculaires UK, uh , seront des lignes homologues, parce qu’elles appartiendront à des triangles rectangles OKU, oku, qui seront évidemment semblables, puisque l’angle KOU, supplément de VOU, est égal à l’angle kou, supplément de vou (388).

Les lignes homologues étant proportionnelles (&13) on a VU ; vu ;; OU : ou ;; UK : uk OK : ok KH : kh VK : vk, etc.

Ainsi , les lignes homologues partagent les rayons ou les diamètres homologues en parties proportionnelles.

420. Cor. IV. On appelle arcs semblables , secteurs semblables , segments semblables , ceux qui répondent à des angles aux centres égaux. Ainsi , les deux arcs VZU, vzu, sont semblables , parce qu’ils sont compris entre les côtés des deux angles égaux VOU, vou.

Les deux secteurs OHSU, ohsu , sont semblables.

Les segments VZU , vzu , sont sembl.ibles.