II

Hi36. Problème. Partager une droite en parties qui soient entre elles dans un rapport donné.

Solation. Fig. <». Si l'on voulait, par exemple, que la droite donnée AB fût partagée dans le rapport des deux nombres 7 et & , on ferait la somme de ces nombres, et l’on obtiendrait 11; on porterait sur AX onze parties égales quelconques; on tracerait la droite CB, et , par le septième point de division on mènerait la droite DE parallèle à CB. *

&37. corollaire I. Fig. 5. Si l'on voulait partager la ligne donnée eu trois parties qui soient entre elles comme 5 : 2 : 3 , on porterait sur AX dix parties égalçs quelconques, on tracerait CB, et , par les cinquième et septième points de division, on mènerait les deux droites DE , HK , parallèles à CB.

438. Cor. II. Fig. 6. Si la droite AB devait être partagée en parties qui soient entre elles dans le rapport de lignes données , par exemple , comme a '.b ic , on ferait AD = a, DH = b , HC = c, on joindrait ensuite le point C.avec B, et l’on tracerait les deux droites DE , HK, parallèles à CB.

Chacune des deu\ dernières questions pourrait encore être résolue en opérant comme au numéro 435^

439. Problème. Fig. 7. Par un point O , pris à volonté dans l’intérieur d’un angle donné A , construire une

PROBLÈMES

droite CD , telle que les deux segments DO , OC , soient égaux.

Solation. On mènem OB par.illèle à l‘un des côtés de l’angle donné , og fera BC = AB , et l’on tracera la droite CO, que l’on prolongera jusqu’en D. En effet (368), les deux parallèles BO, AD , partagent les côtés de l’angle C en parties proportionnelles, et, puisque l’on a fait BC = AB , il s’ensuit que CO = OD.

problème. I^ig. 8. Par un point O, situé dans l’angle donné A , construire une droite CD , telle que les deux segments OD , OC , soient entre eux comme deux droites données a , b.

Solation. On tracera, par le point une droite quelconque AX , sur laquelle on portera AH = a et HS = b.

On tracera ensuite OB parallèle .à DA, et l’on joindra le point B avec H ; enfin , on mènera SC parallèle à HB , et l’on tracera la droite CO, que l’on prolongera jusqu’à ce qu’elle rencontre le côté AD.

En effet, les deux droites BO , AD , étant parallèles , on a DO ; OC AB : BC:

mais le parallélisme des droites BH , CS , donne AB;BC :; AH:HS;

donc, à cause du rapport commun, on aura DO : OC :: AH : HS;

et par conséquent :: a b.

k’si. Corollaire. Si le rapport donné était exprimé par des nombres, si l’on voulait, par exemple, que les deux segments DO et OC fussent entre eux comme ^ est à 3 , on prendrait une ouverture de compas quelconque, et l'on porterait, cette quantité quatre fois de A en H, et trois

fois de H en S : ensuite on agirait pour le reste comme dans le cas précédent.

kki. Problème' Construire une quatrième proportionnelle à trois lignes données. * •

SolaHon- Fig. 9. Soient a , b , c , les trois droites données : ou construira d’abord un angle quelconque XAY, on fera ensuite AB=a, BC = 6 et AD = c; on joindra le point B avecD, et l'on tracera la droite CM parallèle, à BD ; on aura DM pour la valeur cherchée.

En ellet, les deux droites BD , CM, étant parallèles, ^ on a AB ; BC : ; AD ; DM ,

ou , ce qui est la même chose ,

a ; i c : DM.

Ainsi , DM est une quatrième proportionnelle aux trois droites données a, b etc.

4Ü3. 9° solation. Fig. 10. On construira , comme précédemment , un angle quelconque XAY, et l’on fera AB = a , AC = b , AD = c ; on joindra le point B avec D , et l’on tracera la droite CM parallèle à BD. La droite AM sera la quatrième proportionnelle demandée , car le parallélisme des deux droites BD , CM , donnera AB : AC AD : AM , ou , ce qui est la même chose ,

' a t b c : AM.

kkk. Problème. Construire une moyenne proportionnelle entre deux lignes données.

SolnUon. Fig. 11. Soient a et è les deux droites données, on tracera une droite quelconque AX , et l’on fera

, PAOBLÈMES.

AB = a , BC = i; on décrira ensuite la demi-circonférence ÂDC, en prenant pour rayon la moitié de AC; la perpendiculaire BD sera la moyenne proportionnelle demandée.

Eu elTet, il résulte du théorème démontré au numéro 42i^, que l’on a la proportion

AB : BD BD:BC; qui revient à a : BD BD : 6.

as. a* Solntlon. 12. On tracera la droite AX, et l’on fera AB z= a , AC =6; on décrira la demi-circonférence ADB , en prenant pour rayon la moitié de AB ; on élèvera la droite CD perpendiculaire sur AB, et l’on tracera la corde AD , qui sera la moyenne proportionnelle demandée.

En effet, par. U théorème démontré au numéro &.2S , on a AB : AD :: AD ; AC ,

et par conséquent a : AD AD ; à.

446. Problème. Partager une droite donnée en moyenne et extrême raison. On entend par là que la droite donnée doit être partagée en deux parties telles que l’une d'elles soit moyenne proportionnelle entre l’autre partie et la ligne entière. ^ , p

Solation. Fig. 13. Par l’une des extrémités A, de la ligne donnée BA, on élèvera une perpendiculaire AC égale à la moitié de BA ; on tracera l’hypoténuse BC , et , du point C comme centre , on décrira l’arc AO ; enfin du point B , comme centre , on décrira l’arc OM.

Pour démontrer l’exactitude de cette construction , on prolongera la droite BCet l’arc de cercle OAD jusqu’à leur rencontre au point D. La droite BA, perpendiculaire à

GràMÉTniE PLANE.

rt: 1 I .

l’exlrémilé du rayon CA, est une tangente, et, par le théorème du numéro 432 , on a ' ■ -