MESURE DES DROITES

Dans les applications on procède de la manière suivante :

Mesure des lignes droites.

489. Mètre. Soit ,yîg^. 3 , PI. 13 , une règle MV en bois ou en métal, dressé avec le plus grand soin.

Supposons que la longueur de cette règle soit égale à 1 mètre, et que cette longueur soit divisée en dix parties égales, chacune de ces [larties vaudra un décimètre; chaque décimètre sera lui-même partagé en dix parties égales, que l’on nommera centimètres ; chaque centimètre contiendra dix millimètres , et ainsi de suite.

Pour mesurer la longueur d’une droite AC, on portera le mètre MV de A en C autant de fois qu’il pourra y être con ten u ; supposons 1 fois par exemple, de sorte q ue l’on a u ra AC = 1 mètre BC.

Pour évaluer BC on reportera le mètre de B en D ; et l’on verra que

BC = 3 décimètres -|- 6 centimètres.

Ainsi , la droite

AC = 1 mètre -|- 3 décimètres -|- 6 centimètres.

On conçoit que le peu d’étendue de la ligure est la seule raison qui nous ait empêché de tracer les lignes de divisions correspondantes aux millimètres.

490. Lorsque la question proposée exige que les quantités soient mesurées avec une grande exactitude, on peut employer un mètre muni d’un vernie/' (481).

Si chacune des parties du vcrnier était égale à — de mil-

I5fi

GEOMETRIE PEANE.

limètre , les longueurs mesurées seraient exactes à moins de 0,0001 , et même à moins de 0,00005 (1^82).

ii9i. Corollaire I- Le moyen que nous venons d’employer pour mesurer la ligne AG , peut également servir pour trouver, avec une approximation suffisante, le rapport numérique de deux droites. Ainsi, par exemple , sup> posons qu’une droite A soit égale à 2 mètres centimètres , et qu’une autre droite B soit égale à 1 mètre, 783 millimètres, on aura, en divisant la première par la deuxième ,

A 2,i6 X 1 mètre 2,4-6 2,460 2460

B “ 1 ,783 X 1 mètre ~ 1 ,783 “ 1 ,783 “ 1783 ^

492. Cor- On peut aussi employer le mètre pour construire une figure semblable h une autre. Dans ce cas , le rapport qui doit exister entre les côtés homologues des deux figures est exprimé en parties décimales du mètre. Ainsi, par exemple, lorsque l’on dit qu’un dessin est exécuté à 3 millimètres pour mètre , cela veut dire que sur ce dessin chaque longueur de 3 millimètres représente un roèlrc de la figure représentée.

Lorsqu’on dessine une carte ou un plan à l’échelle de un dix-millième, cela signifie que chaque dix-millième de mètre pris sur la carte représente une longueur de 1 mètre sur le terrain.

493. chaîne. Pour mesurer de grandes distances sur le terrain , on emploie la chaîne représentée par la figure 6. Cet instrument , dont la longueur totale est de dix mètres ou un décamètre, se compose de 50 petites tringles de fer séparées par des anneaux ; les longueurs des tringles sont calculées de manière que deux anneaux consécutifs soient éloignés de deux décimètres.

Il y a successivement quatre anneaux de fer et un anneau

ri,. 13. MESURE DES ARCS. 157

de cuivre, de sorte que ces derniers indiquent la longueur de chaque mètre. La chaîne est terminée par deux anneaux assez allongés pour que l’on puisse y passer la main.

Deux hommes tenant la chaîne par les anneaux A et B, l’appliquent sur la terre , et , avant de la relever pour la porter à la suite, ils marquent les points correspondants aux extrémités ; lorsque la chaîne a été posée 10 fois on a mesuré 100 mètres.

494. cordean. On emploie souvent aussi comme instrument de mesure, un ruhan inextensible, ayant un ou plusieurs mètres de longueur.

Mesure des arcs.

495. Définitions. H y a deux manières d’évaluer la grandeur d’un arc ;

La mesure absolue est l’expression en mètres et fractions décimales du mètre, de la longueur qu’aurajt cet arc si on le lirait par ses extrémités jusqu'à ce qu’on lui eût fait perdre sa courbure , et qull fût transformé en ligne droite : c’est ce que l’on appelle un arc rectifié.

La mesure relative est le rapport qui existe entre l’arc et la circonférence entière dont il n’est qu’une partie. Nous parlerons plus tard de la mesure absolue , nous allons voir de quel manière on peut obtenir la mesure relative.

496. Théorème Fig. 12. Si plusieurs cercles ont le même centre , tous les arcs interceptés entre deux rayons AB , AC , ont la même valeur relative.

Démonstration. Les arcs BC , B'C, B"C", sont semblables , puisqu’ils correspondent à un même angle au

centre (420). Ils peuvent donc être considérés comme lignes homologues par rapport aux circonférences dont ils font partie , de sorte que l’on aura

l’arc BC est à la circonférence qui a pour rayon AB , comme l’arc B'C' est à la circonférence qui a pour rayon AB', etc.

Par conséquent si l’arc BC vaut, par exemple , la vingtième partie de la circonférence entière à laquelle il appartient, l’arc B'C' vaudra également la vingtième partie de la circonférence entière correspondante.

497. Corollaire. Puisque tous les arcs concentriques compris entre les deux rayons AB, AC, ont la même valeur relative , il s’ensuit que le nombre qui exprimera la mesure de l’un d’eux sera également la mesure de l’autre. Par conséquent, pour avoir la mesure de l’arc BC, il suffira de mesurer l’un quelconque des arcs concentriques B'C', B''C'', etc.

498. Rapporteur. Supposons actuellement un demicercle en métal, divisé avec beaucoup de soin en parties égales, en 180 par exemple. Si l'on transporte le centre de ce cercle au centre de l’arc BC , dont on veut avoir la mesure relative , et que l’on fasse coïncider le rayon de l’instrument avec AB ; le rayon AC coupera la circonférence du cercle en un point C', et le nombre de parties de l’arc B'C', fera connaître le rapport qui existe entre cet arc et la circonférence entière.

L’opération qui précède revient à prendre pour unité d’arc la 360" partie de la circonférence ou le degré. Ainsi, par exemple , si le rayon AC correspond au 34» point de division de la circonférence du rapporteur, on en conclura

que lare B'C' est égal à de circonférence ou 34

MESURE DES ARCS

degrés ; d’où il résulte que l’arc BC vaut pareillement ou 3k degrés de la circonférence à laquelle il appartient.

^l 99. AGn de pouvoir évaluer les arcs qui ne contiennent pas un nombre exact de degrés , on est convenu que cliaque degré se composerait de 60 parties égales, que l’on nomme minutes ; que chaque minute contiendrait 60 secondes.

On désigne le degré par le signe ° la minute par '

la seconde par "

Ainsi , un arc de 28 degrés 17 minutes 30 secondes , s’écrirait de la manière suivante :

500. Vernier circulaire. Dans beaucoup d’instruments destinés à la mesure des arcs , on a ajouté un dernier circulaire ,fig. k. Le principe est le même que pour le vernier rectiligne. Ainsi, par exemple, si la circonférence ou le limbe était divisé en degrés, et que l’on eût fait 10 parties du vernier égales à 9 parties du cercle , on obtiendrait les dixièmes de degrés, et par conséquent la longueur de l’arc serait évaluée à moins de 6 minutes, et même , comme nous l’avons dit au numéro J»82 , à moins de 3 minutes.

Nous verrons plus tard par quels moyens cette exactitude peut être augmentée considérablement.

501. Division de la circonférence. Autrefois tous les géomètres s’accordaient pour diviser, comme nous venons de le faire , la circonférence en 360 parties égales ; mais , à

l’époque où le système métrique des poids et mesures f ut adopté en France, on voulut partager également le cercle en parties décimales.

11 fut décidé alors , que le quart de la circonférence prendrait le nom de quadrant; que chaque quadrant se composerait ‘de 100 parties égales, nommées grades; chaque grade de 100 parties nommées minutes; chaque minute de 100 secondes.

Ainsi , pour énoncer qu’un arc a = 36*'-, 4852 , on dirait que cet arc vaut 36 grades , 48 minutes , 52 secondes.

Des obstacles matériels puissants se sont opposés jusqu'ici , et s’opposeront sans doute encore longtemps à l’abandon de l’ancienne division du cercle.

Eln eOet, parmi les praticiens qui ont souvent occasion de mesurer des arcs, il faut mettre en première ligne les astronomes, les ingénieurs, les géographes, les marins, etc. Ces classes, composées d’individus doués en général d’une haute intelligence, auraient promptement vaincu les difficultés de calcul provenant du passage de l’ancien système au nouveau, et , par la construction de tables bien disposées, ils auraient rendu facile la comparaison des observationspassées aux observations futures, des cartes de géographie construites d’après la division sexagésimale, avec les cartes dressées suivant la nouvelle division. Mais, quand le lecteur connaîtra dans tous leurs détails, les admirables instruments employés pour la mesure des arcs , quand il pourra se faire une idée du talent , de l’adresse et de la patience des artistes chargés de leur exécution ; il ne sera plus étonné de l’élévation du prix de ces instruments , et de la grande dépense à laquelle on serait entraîné s’il fallait d’un seul coup remplacer tous ceux qui existent , par d’autres qui seraient construits suivant la division décimale.

A la nécessité de remplacer tous les instruments de la

MESURE DES ARCS

lei

roarine et des observatoires, se joiudrait encore, pour le navigateur, l’embarras et la confusion qui pourraient résulter dans son esprit, de l’emploi simultané des cartes françaises, divisées en décimales, et des cartes étrangères, construites d’après l’ancienne division. Au moment du danger, il n’aurait pas le temps de faire les transformations nécessaires pour comparer les positions indiquées par les anciennes cartes avec le résultat provenant des observations faites avec les nouveaux instruments.

£n6n, à toutes ces causes, il faut ajouter la privation presque absolue de tables de logarithmes s’accordant avec la division décimale du cercle.

Il résulte de ce qui précède que pour remplacer l’ancienne division parla nouvelle il faudrait:

1° Que tous les instruments des astronomes, des marins et des ingénieurs fussent changés ;

2° Que les tables de logarithmes fussent calculées suivant la nouvelle division ;

3° Que les cartes de géographie françaises ou étrangères, dont les marins font un usage journalier, fussent remplacées par des cartes décimales.

Jusqu’à ce que ces conditions aient été remplies, nous serons forcés, dans les exemples d’application donnés comme sujet d’exercices, d’adopter la division sexagésimale, à laquelle nous serions d’ailleurs nécessairement ramenés lorsque nous voudrions nous servir des logarithmes.

ËnSn, si j’avais eu l’intention d’écrire un ouvrage de pure théorie , j’aurais peut-être préféré la division décimale; nuiis dans un traité de mathématiques destiné aux praticiens , j’ai cru devoir adopter la seule division qui jusqu’à présent soit en usage dans les applications. Nous verrons d’ailleurs par la suite, que les difficultés qui paraissent devoir en résulter ne sont qu’apparentes, puisque

SÉOMÊTME PLANE.

dans la solution des triangles ce ne sont ps les arcs ni les angles qui entrent dans le calcul , mais les logarithmes de lignes droites qui en dépendent , et dont les valeurs sont toujours exprimées par des nombres décimaux.

502. D’ailleurs, si l’on voulait transformer l'expression sexagésimale d’un arc en expression décimale du même arc, il suffirait de se rappeler que

360 degrés = &00 grades.

D’où 9° = 10* 10»

, i*.iiii

l' = -ëô- = 0*,0185

Avec ces rapports on pourra facilement calculer une table de transformation.

Mesure des angles.

503. Considérations générales. On a dit que la géométrie avait pour but la mesure de l’étendue. Cette définition n’est ni complète ni exacte.

Elle n’est pas complète ; car lorsque l’on recherche les relations qui résultent du parallélisme ou de la perpendicularité des lignes droites on ne mesure pas l’étendue ;

Lorsque l’on construit des figures égales ou semblables entre elles on ne mesure pas l’étendue.

Lorsque l'on dessine un corps, lorsque l’on trace toutes les coupes nécessaires pour l’exécuter, on ne mesure pas l’étendue , etc. , etc,

MESURE DES ANGLES

Non-seulement la définition jirécédeiite n’est pas complète , mais elle n’est pas exacte. En efî’et , si l’on considère la géométrie comme ayant pour but de mesurer les quantités d’étendue occupées par les figures ou par leS corps, on n’aura aucune idée des moyens employés pour atteindre ce but.

.d/esurer, suivant le sens que l’on attache vulgairement à cette expression, c’est comparer la quantité h l’unité pour connaître leur rapport numérique.

Mais cette opération n’est pas aussi simple qu’elle le paraît d’abord, ensuite elle est presque toujours impossible, et la plupart des théorèmes de géométrie ont pour but de donner les méthodes les plus simples pour calculer l’étendue et non pour la mesurer.

Nous venons de voir déj<i un exemple ii l’appui des réflexions qui précèdent. Ainsi, pour oblenir la mesure relative d’un arcBC,^^. 12, nous n’avons pas. mesuré cet arc -directement, ce qui aurr.il été fort difficile , puisqu’il aurait fallu faire construire exprès un rapporteur de même rayon que l’arc proposé ; mais nous sommes parvenus au même but d’une manière indirecte , et, sans mesurer l’arc BC lui-même, nous avons obtenu sa valeur relative en mesurant un autre arc B'C', qui avait le même rapport numérique avec la circonférence entière.

Ces considérations sont fort importantes , et , pour mieux faire comprendre la distinction que l’on doit faire entre la mesure directe et la mesure indirecte, je citerai quelques exemples pris en dehors de la géométrie.

Supposons que l’on veut mesurer la chaleur qui est dans un appartement , il est évident qii’on ne pourrait pas la comparer directement à l’unité de chaleur, qui n’est pas une quantité matérielle et sensible comme l’instrument que l’on emploie pour la mesure des lignes, il a donc fallu trouver d’autres moyens-

aÉOMÉTIUK PLANE.

Après un grond nombre d’observations et d’expériences délicates, on est parvenu à>s’assurer que la chaleur existant dans un lien déterminé, augmente ou diminue proportionnellement à la hauteur de la colonne de mercure contenu dans un tube de verre. Dès ce moment le moyen de mesurer la chaleur a été trouvé, et lorsque la colonne de mercure a augmenté d’un dixième en hauteur, on a pu dire que la chaleur était elle-même augmentée d’un dixième.

Il est cependant bien évident que ce n’est pas la chaleur que l’on a mesurée, mais la hauteur du mercure , c’est-àdire une ligne droite. Ainsi, l’une de ces quantités a pu servir de mesure à l’autre, parce qu’il avait été reconnu précédemment qu’elles variaient dans le même rapport.

Prenons pour second exemple la mesure du temps , il est certain que l’unité de temps n’est pas une quantité que l’on puisse comparer directement avec le temps que l’on veut mesurer; mais lorsqu’on fut parvenu à construire une machine dans laquelle l’extrémité d’une aiguille parcourt des espaces proportionnels au lem|)S écoulé , la mesure du temps a été trouvée. Or, il est encore évident que ce n’est pas le temps que l’on mesure mais l'arc de cercle parcouru par l’extrémité de l’aiguille, et si l’on prend cet arc pour la mesure du temps, c’est parce que ces deux quantités varient dans le même rapport.

C’est ainsi, comme nous le verrons par la suite, que l’on remplace presque toujours les quantités que l’on veut mesurer par d’autres quantités qui leur sont proportionnelles.

50V. En général, les lignes droites et les arcs de cercles sont les seules grandeurs que l’on mesure en les comparant directement à l’unité. Quant aux autres quantités on ne les mesure pas, on calcule leur étendue, et pour cela il faut rechercher les rapports qui existent entre elles,

MESURE DIS ANGLES

et d'autres quantités dont la mesure est plus facile k obtenir.

C’est par l 'étude et par la comparaison de tous ces rapports que nous parviendrons à obtenir la mesure de toutes les parties de l’espace.

305. Théorème. Lorsque deux angles ont leurs sommets au centre d’un même cercle ou de cercles égaux , ils sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côtés.

Démonstration. Supposons que les angles acb, ACB. ftg. 8 , soient entre eux comme 3 ; 5 , ou , ce qui revient au même, supposons qu’il existe un angle m contenu trois fois dans le premier et cinq fois dans le second ; chacun des trois angles qui composent acb sera égal à l’un quelconque des cinq angles qui composent ACB , et les arcs interceptés ao, AO, seront égaux de part et d’autre (188). Or, si l’on prend un de ces petits arcs pour terme de comparaison, et si l’on exprime sa valeur par m' on aura arc ab = 3m' arc AB = 5m'.

Divisant la première équation par la seconde on obtient

arc ab 3m' 3

arc AB 5m' 5 ’

ce qui donne la proportion '

arc ab : arc AB 3 : 5.

Mais on avait la proportion

angle acb : angle ACB :: 3 : 3.

On aura donc, à cause du rapport commun, angle acb ; angle ACB :: arc ab : arc AB.

506. Bemarqne. En supposant que les deux angles acb, ACB , étaient entre eux comme les nombres 3 et 5 , ^

il est évident que nous n’avions pas d’autre but que 'de

^66 6É0MÉTME PLANE. Pt. J 3.

^ fixer les idées par un exemple, et le facteur m! ayant disparu par la réduction, nous devons en conclure que légalité des deux rapports ne dépend pas delà grandeur de l’arc employé comme mesure commune; par conséquent la proportion existera toujours lors même que cette commune mesure sera infiniment petite, ou, en d autres termes, lorsque le rapport (l'es deux angles comparés sera in<;ommensurable (362).

Dans la suite , et pour abréger, nous admettrons que 1 existence d un rapport est démontrée d’une manière générale, toutes les fois que les réductions auront fait disparaître la commune mesure auxiliaire employée pour faciliter la démonstration.

507. Tbéorèm*. Lorsqu’un angle a son sommet au centie dun cercle, il a pour mesure l’arc compris entre ces côtés.

Démonstration. Pour obtenir la mesure d’un angle il faut trouver le rapport numérique qui existe entre cet angle et l’unité; mais puisque les angles au centre sont entre eux comme les arcs compris entre leurs côtés (505), il est évident que l’on pourra prendre le rapport des arcs pour celui des angles. Ainsi , par exemple , s’il s’agissait d’exprimer la mesure de l'angle acbjtg. 8 , et que l’on eût pris .l’angle ACB pour unité , on aurait

angle acb arc ab 3 angle ACB ~ â/c AB ~ 5 ’

,, , angle acb 3

angle ACB 5 ’

et par cunséquenl

angle acb = - angle ACB.

MESURE DES ANGLES

SOS. Corollaire I. Dc-tns les applications on prend ordinairement pour unité d angle la 90* partie de l’angle droit. Cet angle , que l’on nomme degré, est compris 360 fois dans quatre angles droits ; d’où il résulte que si le sommet de ce petit angle était placé au centre d’un cercle , il comprendrait exactement l’arc d’un degré entre ses côtés •

509. Cor. II. Il résulte évidemment de ce qui précède, que les instruments imaginés pour mesurer les arcs serviront également pour mesurer les angles, et l’on verra par la suite que c’est précisément là leur véritable destination. Ainsi , par exemple , pour mesurer l’angle BAC ,fig- 12 , on placera au point A le centre dq rapporteur, et l’on fera coïncider le côté AB avec le rayon qui correspond au point O de la circonférence. Le nombre de degrés compris dans l’arc B'C' indiquera combien de fois l'angle BAC contient l’angle d’un degré qui représente l’unité.

Le point C' correspondant sur la figure, au 31»* point de division du limbe, on en conclura que l’angle BAC vaut 34. degrés.

510. Cor. III. Lorsqu’un angle B'AË est droit, il intercepte entre ses côtés le quart de la circonférence , et par conséquent sa mesure est égale à 90 degrés.

Lorsque deux angles B'AC', C'AE sont compléments l’un de l’autre (57), leur somme est égale à 90 degrés

Lorsque deux angles B'AC', C'AD, sont suppléments l’un de l’autre (61), leur somme est égale à 180 degrés.

51 !• Cor. IV. Si le sommet de l’angle donné était placé sur la circonférence du rapporteur, il faudrait prendre pour mesure la moitié de l’arc de cercle compris entre les côtés. Ainsi on aurait (190)

angle B'AC' arc B'C' 34 ,

l angle B DC = = — = -- = 17 degr.

Digilized by Coogle

CKOMÉTRIE PLANE.

On aurait également (195)

arc C ED 180-34 / angle HC D = =

= -— = 73 degr.

Il ne faut pas oublier, lorsqu’on dit qu’un angle est égal à un arc, qu’il s’agit seulement de l’égalité des deux nombres qui expriment leurs mesures relatives.

512. Cor. V. On peut facilement, avec un bon rapporteur, diviser la circonférence d’nn cercle en parties égales.

Supposons , par exemple , que l’on veuille déterminer la 13* partie delà circonférence, on divisera 360 par 13, et l’on obtiendra pour quotient g

27 degrés plus — = 27 degrés, 41 minutes, 32 secondes.

la , *

Pour inscrire un polygone régulier de 19 côtés , on calculerait exactement les nombres de degrés , minutes et

secondes des arcs correspondants à >

360 degrés.

513. instruments. Le rapporteur, 12, est employé ordinairement pour mesurer les arcs ou les angles que l’on trace sur le papier, mais lorsqu’il s’agit d’obtenir la mesure des angles formés par des lignes droites dirigées de toutes les manières dans l’espace, il faut ajouter à cet instrument des modifications importantes.

* 514. Hayon visnel. Les rayons de lumière qui éclairent

les corps, sont renvoyés dans toutes les directions par les différents points de leur surface; quelques-uns de ces rayons pénètrent dans notre œil, et y produisent une sensation, d’où résulte pour nous le phénomène de la vision. Sans entrer ici dans les détails de cette question composée, nous admettrons comme sufBsammen t exact, ^our le moment, que le rayon de lumière envoyé dans notre œil, par le point que

MESURE DES ANGLES

nous regardons, est une ligne droite à laquelle nous donnerons le nom de rayon visuel.

515. Graphomètre,^g^. 11. Cet instrument n’est autre chosequ’un rapporteur monté sur un pied à trois branches, que l’on peut écarter ou rapprocher à volonté, pour donner plus de stabilité à l’instrument, et pour changersa hauteur. Parle moyen d’une pièce nommée genou, on peut incliner le plan du graphomètre dans toutes les directions.

Le diamètre ac, est terminé par deux plaques de métal perpendiculaires au plan du cercle; chacune de ces deux plaques, nommés pinnules, est percée par une fente et par une petite fenêtre. D’un côté, la fenêtre est au-dessus de la fente et le contraire a lieu pour la pinnule opposée, de sorte que la fenêtre de l’une des deux pinnules se trouve toujours à la même hauteur que la fente de la pinnule par laquelle on regarde.

Pour viser un objet, on place l’œil auprès de la fente, et l’on fait mouvoir le plan de l’instrument jusqu’à ce que l’on puisse voir l’objet à travers la petite fenêtre qui est vis-à-vis.

Cette fenêtre est traversée dans toute sa hauteur par un 61 bien tendu , que l’on amène exactement au milieu de l’objet que l’on regarde.

La règle vu, mobile autour du centre, se nomme une alidade. Les extrémités taillées en biseau forment deux vemiers au moyen desquels on augmente, comme nous l’avons vu (481) l’exactitude de la division.

Pour mesurer un angle avec le graphomètre, on fait tourner le plan du cercle jusqu’à ce que l’on puisse voir par les pinnules les objets vers lesquels sont dirigés les deux rayons visuels.

516. Cercle- Fig. 13. Au lieu d’un graphomètre on emploie souvent un cercle entier dans lequel les alidades sont remplacées par des lunettes.

GÉOMÉTRIK PLANE.

517. Mire. Fig. 16. S’il n’exisle pas d’objet assez net pour déterminer d’une manière bien précise la direction du rayon Tisuel , on emploie une planche mn divisée en carrés noirs et blancs. Les deux droites formant les côtés de ces carrés se coupent en un point vers lequel il est facile de diriger les lunettes'ou les alidades.

Quelquefois , lorsque l’on opère la nuit, on emploie des signaux de feu.

618. Planchette. Lorsque l’on veut tracer de suite sur le papier l’angle formé dans l’espace parles rayons visuels, on emploie une planche à dessin . montée sur un pied commelegrapbomètreou le cercle 11 et 13. On place sur la planche une règle ou alidade, terminée par deux pinnules, et lorsqu’en regardant parles pinnules on a fait coïncider la direction de l’alidade avec celle du rayon visuel , on trace immédiatement celte ligne au crayon ; la pointe du crayon étant dirigée par l’alidade elle-même.

Le moyen que nous venons d’indiquer est très-commode lorsque l’on veut tracer rapidement sur le papier les angles formés par les rayons visuels dirigés vers un grand nombre de points-, mais le résultat est loin d’être aussi exact que celui que l’on obtient en mesurant ces angles avec le grapbomètre ou le cercle, et les traçant ensuite avec le rapporteur.

Les principes qui seront développés dans la suite, nous permettront de résoudre ces questions avec une exactitude presque absolue.

519. Définitions. Les angles ont principalement pour but de déterminer la direction des lignes droites en cxpri-

PL. 13. MESURE DES ANSLES. 171

mant leur inclinaison par rapport à d’autres lignes dont la position est connue.

Parmi toutes les directions qu’une droite peut prendre dans l’espace , il y en a quelques-unes qui sont la conséquence de lois naturelles trop intimement liées avec les travaux de l’ingénieur pour qu’il soit permis d’en reculer la déGnition.

La connaissance de ces lois facilitera l’étude de la théorie , en indiquant au lecteur le but que l’on s’est proposé dans la recherche des principes.

520. Ligne verticale. Si un corps quelconque est abandonné à lui-méme, et qù’il ne soit poussé dans aucun sens , il se dirige aussitôt vers la terre en parcourant une ligne droite que l’on nomme une verticale.

521. La force inconnue qui entraîne ce corps vers la terre se nomme pesanteur . Ainsi la verticale est la direction de la pesanteur.

522. Fil à plomb. La direction d’une verticale peut être rendue sensible en suspendant un morceau de plomb ou de cuivre à un Gl ac,fig. 1. C’est ce que l’on nomme un fil à plomb. .

523. En faisant coïncider le fil à plomb avec la droite tracée parallèlement au bord extérieur de l’une des deux branches de l’équerre,/?^. 2, on sera certain que cette branche est située dans une position verticale.

521». Plan vertical, est »«rtica/ toutes les fois

qu’il contient ime droite verticale.

Ainsi , Lorsqu’on aura reconnu qu’une surface est plane ' (28) , il suffira , pour reconnaître si elle est verticale , d’y appliquer le côté vertical de l’équerre ,fig- 2.

525. On agira de la même manière lorsque l’on voudra placer verticalement le plan du graphomètre ou du cercle, fig. 11 et 13, ou bien encore on dirigera l’alidade ou la lunette mobile, vers deux points situés sur une droite

OU dans un plan dont la position verticale serait connue et vérifiée bien exactement.

526. Llg^ne borizontale. Toute droite perpendiculaire à une verticale est une ligne horizontale ou de niveau.

On peut reconnaître si une ligne est de niveau en y appliquant le côté mn de l’équerre , jîg. 2 ; il faut en même temps s’assurer que l’autre branche est bien exactement verticale (523).

527. On peut encore vérifier une ligne horizontale au moyen de l’équerre isocèle , fig. 5. Si le fil à plomb passe exactement au milieu de la droite ac , on pourra en conclure que sa parallèle mn, est une ligne de niveau.

528. Plan borisontal. Lorsqu’un plan contient deux lignes de niveau , il est horizontal; il sera démontré plus tard que toutes les droites tracées dans ce plau sont de niveau.

529. La détermination des lignes de niveau est tellement importante dans les applications de la géométrie, que l’on a dû chercher à composer des instruments plus parfaits que ceux dont nous venons de donner la description.

530. ifivean d'ean- Une des propriétés des liquides, c’est que, lorsqu’ils sont en repos, leur surface supérieure est toujours horizontale. De sorte que si , dans un bassin ou dans un étang, on choisit deux points quelconques situés à la surface de l’eau , la droite qui joindra ces deux points sera de niveau.

D’après cela, concevons , 14, un tuyau en métal, dont les extrémités recourbées sont terminées par deux tubes en verre.

La communication étant libre d’un tube à l’autre, au moyen du conduit vu, si l’on verse par l’une des extrémités

MESUftt DES ANGLES.

un liquide quelconque, on le verra paraître de suite dans le tube opposé, et quelle que soit la direction de Tinstrument, la droite ac sera toujours une ligne de niveau.

Pour rendre plus apparente la ligne supérieure du liquide, on y introduit ordinairement une matière colorante.

531. Niveau à bulle d’air- Le plus parfait de tous les instruments de niveau, est celui que nous allons décrire.

Concevons un tube de verre courbé circulairement comme on le voit sur la fi§. 9. Si on le remplit presque entièrement avec un liquide coloré , il restera une petite goutte ou bulle d’air qui viendra toujours se placer dans la partie la plus élevée du tube, quelleque soit, du reste, l'inclinaison de la corde ac; et lorsque cette corde sera horizontale, il est évident que la bulle d’air devra occuper exactement le milieu de l’arc amc.

On renferme ordinairement le tube de verve, Jig. 10, dans une enveloppe de métal qui le garantit contre le choc des objets extérieurs.

Sur la^^. 9, on a augmenté la courbure aGn de mieux faire comprendre le principe; mais sur la Ggure 10, cette courbure est insensible.

Lorsque la plaque à laquelle est attaché le niveau , est placée horizontalement, la bulle d’air doit occuper exactement le milieu de la longueur du tube.

532. usages du niveau. Les instruments de niveau ne servent pas seulement à déterminer les lignes horizontales , ils sont encore utiles lorsque l’on veut connaître la diflé

GKOMÉTRIE PLANE.

rence de hauteur de deux points, ou l’inclinaison de la li"ne droite qui les joint. Ainsi, par exemple, si l’on place la mire mn, fig. 16, dans le prolongement d’une ligne de niveau , on connaîtra par le nombre de divisions de la règle ac quelle est la diflérence de hauteur entre le point que l’on regarde et celui où est situé l’instrument.

533. Pour mesurer l’inclinaison ou la pente d’une ligne droite, on amènera le plan du graphoihètre ou du cercle dans une ]>osition verticale (525), jmis avec un niveau portatif, ou faisant partie de l’instrument, on donnera une direction horizontale à la lunette ou alidade fixe , après quoi, il ne restera plus qu’à mesurer l’angle que cette ligne de niveau , fait avec la droite dont on veut ' connaître l’inclinaison.

534. Pour placer le cercle ou le graphomètre dans une position horizontale, on posera le niveau sur le plan de l’instrument dans deux directions difiérentes (529). Quelques cercles sont munis , à cet effet , de deux niveaux à demeure et perpendiculaires l’un à l’autre.

535. Définitions- H est essentiel de remarquer que par un point pris à volonté dans l’espace , on ne peut faire passer qu’une seule ligne verticale , tandis que l’on peut mener par ce point une infinité d’horizontales difiérentes.

Toutes ces horizontales seront dans un même plan (528), qui sera le seul que l’on puisse concevoir par le point doni^é, tandis que par la verticale qui contient ce point, on pourra faire passer une.infinité de plans verticaux.

536. En général, par un point donné, on ne peut faire passer qu’une seule verticale , par laquelle on peut concevoir une infinité de plans verticaux.