CHAPITRE II

Longuew des lignes.

5<18. Droites Inaccessibles. Nous avons dit, au numéro soi., que les droites et les arcs de cercle étaient les seules quantités que l’on pût mesurer directement en les comparant aux unités ; mais les lignes droites dles-mémes ne sont pas toutes immédiatemement mesurables. En eflet, il arrive souvent que l’on veut obtenir la distance de deux points dont on ne peut pas approcher. D’autres fois il est impossible de tracer la droite qui représente cette distance.

Dans ce cas , on calcule la longueur de cette ligne en cherchant le rapport numérique qui existe entre elle et quelque autre droite plus facile à mesurer.

Nous allons éclaircir ce qui précède par des exemples.

S(9. Problème. Mesurer la hauteur d’une tour au sommet de laquelle on ne peut pas monter.

Bolntlon. Fig. 1, PI. li. On commencera par mesurer la longueur d’une droite MN, horizontale et dirigée vers le pied de la tour. On y ajoutera la demi-largeur NO de la tour, et l’on connaîtra l’horizontale GÂ.

On placera ensuite le plan d’un graphomètre ou d’un cercle dans une position telle, qu’en faisant mouvoir la

FL. ik.

LORCDEUH DES LtONES.

lunette ou l’alidade mobile , le rayon visuel ne quitte pas l’axe BAdela tour (525).

On dirigera la lunette ou l’alidade fixe dans la direction horizontale CA, puis on mesurera l’angle vertical BGA.

Quand cela sera fait , on construira, sur une planche à dessin, un triangle rectangle bca, tel que l’angle c soit égal à l’angle G mesuré sur le terrain , et que la droite ca, contienne autant de parties égales , prises sur une échelle quelconque, qu’il y a de mètres dans la longueur de In droite mesurée MN, augmentée de la demi-largeur de la tour.

Les deux triangles bac, BAG , seront alors semblables (388), et leurs cdtés seront proportionnels.

Par conséquent la droite AB contiendra autant de mètres qu’il y aura de parties dans le côté ab du triangle auxiliaire.

Supposons, par exemple, que la droite CA ccmtieiine 40 mètres, et que ca soit égale à ftO parties d'une échelle quelconque, il est évident que si le côté ab contient 52 de ces mêmes parties , le côté AB vaudra 52 mètres.

550. On évitera la construction d’une échelle particulière en prenant l’une des subdivisions du mètre pour unité du triangle auxiliaire caô. Ainsi, par exemple, si l'on a fait ca égale à millimètres, on aura ab égale à 52 millimètres, et l'on en conclura que AB vaut 52 mètres.

Lorsqu’on aura obtenu la valeur de AB , il suffira d'y ajouter la hauteur de l’instrument pour avoir celle de la tour.

551. a* Solation. Fig. 2. Si l’on n’avait pas d’instrument pour mesurer l’angle G , on pourrait quelquefois, au moyen de l’ombre, obtenir une mesure approximative de la hauteur demandée.

On placerait une règle ou ün bâton dans une position verticale ab et l’on mesurerait les longueurs des ombres

GKOMÉTRIE PLANE.

PL. n.

ac, AC, du bàlon et de l’objet dont on veut calculer la hauteur. Il ne resterait plus qu’à établir la proportion ac : AC :: ab ; AB.

Les trois premiers termes étant connus , il sera facile de calculer le quatrième.

Cette solution provient de ce que les rayons solaires bc, BC, sont parallèles; d'où il résulte que les deux triangles bac, BAC, sont semblables; pourvu toutefois que le bâton ait été placé bien verticalement.

552. Quelque imparfaites que soient les solutions de cette espèce, on aurait tort de les rejeter d’une manière absolue. Indépendamment de leur utilité dans des circonstances où l’on est privé de moyens plus exacts , elles contribuent à former le coup d’œil par la comparaison raisonnée des relations qui existent entre les dimensions de l’étendue.

On n’a pas toujours le temps ni la possibilité de faire des opérations rigoureuses , et l’on peut quelquefois tirer un parti fort utile d’une solution approximative, pourvu que l’on n’accorde pas au résultat plus de confîance qu’il n’en mérite.

553. Problème. -Fig- 3. Mesurer la hauteur d’un monument dont on ne peut pas approcher.

Solution. On mesurera le plus exactement possible une • droite horizontale BC , dirigée vers l’objet dont on veut connaître la hauteur.

On transportera successivement un cercle ou ungrapbomètre aux points B et C ; puis on prendra In mesure des deux angles ABC, ACP.

On construira ensuite sur le papier un triangle abc semblable au triangle ABC , et l’on tracera la droite ap perpendiculaire sur le prolongement de bc. Il ne restera