PL. H. LONOUEUR DES LIGNES

])lus alors qu’à chercher le quatrième terme de la proportion bc : BC :: : AP. t4.13)

SSI^. corollaire. La méthode précédente peut évidemment servir à mesurer la hauteur d’une montagne, pourvu que l’on puisse mesurer une ligne de niveau BC, située dans le plan qui contient la verticale abaissée du sommet.

Lorsque cette condition n’aura pas lieu , il faudra employer des moyens qui seront développés plus tard.

S55. Problème- Fi§. k. Mesurer la largeur dune rivière que l’on ne peut pas traverser.

solution. On remarquera sur la rive opposée un objet apparent , tel qu’un arbre , une pierre A , etc.

On se placera ensuite au point D, de manière que la droite AD soit, autant que possible, perpendiculaire à la direction de la rivière , et l’on fera placer une mire au point G.

On tracera ensuite la droite DB , que l’on mesurera le plus exactement qu’il sera possible ; puis , avec le cercle ou le graphomètre , on prendra la mesure des angles ABD, CBD, ADB.

Enfin , on construira la figure acdb semblable à ACDB,^ et l’on calculera le quatrième terme de la proportion bd : BD :: ac ; AC.

SS6. Problème. Fig. 5. Mesurer la distance de deux points dont on ne peut pas approcher.

Solution. On cherchera une place où le terrain soiiasscz uni pour que l’on puisse y tracer une droite AB, que l’on mesurera très-exactement.

oiOUÉTRlE P1.AIIE.

Oo transportera ensuite le graphomètre ou le cercle aux dettx points A et B; puis on mesurera les quatre angles DAB , CAB , CBA , DBA.

Enfin , on tracera sur le papier la figure <ibcd semblable n ABCD, et l’on calculera le quatrième terme de la proportion a£ ; AB :: ! DC.

11 est évident que les montagnes, les arbres, les maisons, qui pourront exister entre les deux points D et G, ne changeront rien à la manière d’opérer, et qu’il suffit que ces deux points puissent être vus de chacune des extrémités de la base AB.

557. aemarque- Les solutions précédentes peuvent laisser quelque chose à désirer sous le rapport de l’exactitude , parce que si l’on fait une petite erreur en traçant la figure sur le papier, il en résultera évidemment une erreur proportionnelle lorsque l’on calculera la ligne homologue de la grande figure semblable qui est censée exister sur le terrain.

On pourra diminuer les erreurs en dessinant la figure auxiliaire avec beaucoup de soin ; mais nous verrons par la suite, comment le calcul donne les moyens de résoudre les mêmes questions avec une exactitude beaucoup plus grande.

Ce qui précède a seulement pour but de faire comprendre comment on peut calculer la longueur des lignes inaccessibles lorsque l’on connaît leur rapport à d'autres lignes plus facilement mesurables.

558. Lignes courbes. La mesure d’une courbe ABCD, fig. 6 , est l’expression en mètres et fractions décimales de

ri,. 14. LONOUEUB DES LIGflES. 183

mètre , du chemin qu’il faudrait parcourir si l’on suivait celle ligne d’une extrémité à l’autre en contournant toutes ses sinuosités.

La définition précédente suffit pour faire comprendre combien il est difficile d’obtenir directement la mesure des courbes; car il faudrait pour y parvenir que l’instrument sur lequel on aurait tracé le mètre et ses subdivisions fût assez fiexible pour qu’il pût se prêter à toutes les variations de courbure de la ligne qu’il s’agirait de mesurer.

Dans le plus grand nombre de cas on peut se contenter des moyens que nous allons indiquer.

559. Si la courbure est peu sensible , on appliquera l’unité contre la courbe , en négligeant la petite diilérence qui résulte de ce que l'on remplace à chaque instant un arc par sa corde. Mais , s’il y a beaucoup de sinuosités , il faut partager la ligne donnée ÂBGD en parties très-petites, et reporter toutes ces parties à la suite les unes des autres, sur une droite A'D' dont on mesure ensuite la longueur.

La droite A' D' représente la courbe ABCD rectifiée.

560. Pour diminuer autant que possible l’erreur qui provient de ce que l’on considère comme une ligne droite chacun des petits arcs qui composent la courbe donnée , il faut rapprocher les points de divisions dans les parties où la courbure est très-grande.

561. CSonrbes semblsOilea. Pi§. I- Supposons que les courbes ab, AB, soient semblables ; si l’on connaît la longueur de l’une d’elles , et le rapport qui existe entre leurs dimensions, cela dispense de mesurer la seconde. En effet, les deux courbes proposées pouvant être considérées comme

GÉOMÉTRIE FLAHE. Fl. 14.

des polygones semblables, d’un nombre infini de côtés , il s ensuit que leurs contours ou périmètres sont entre eux comme deux quelconques de leurs lignes homologues. Or, si les unités des deux échelles qui ont servi à construire ces courbes sont entre elles comme 3 : 5, il est évident que 1 on aura la proportion suivante :

courbe ab ; courbe hR :: 3 : 5.

D’où l’on déduit

courbe AB =

5 X courbe ab

Ainsi , par exemple , si l’on savait que la courbe ab soit égale à 34 mètres , on aurait

courbe AB ;

donc la courbe AB vaudrait 56 mètres; 67 centimètres.

562. En général , toutes les Jois que [on connaît le rapport numérique de deux quantités, et l’une d’elles, ce la dispense de mesurer l’autre , c’est pourquoi la recherche des rapports numériques est une question très^importante pour les applications.

563. circonférence dn cercle. Les difficultés que nous venons de rencontrer dans la mesure des 'courbes , existent également , lorqu’il s’agit d’une circonférence de cercle , niais la nature particulière de cette ligne , et son utilité dans la plus grande partie des applications mathématiques ne permettent plus de se contenter des solutions que nous venons d’indiquer. Il a donc fallu chercher les moyens de calculer l’étendue de la circonférence avec une exactitude, déterminée dans chaque cas, par la nature de la question proposée.

PL. li. LOnGUEUR DES LIGNES. 185

Pour atteindre ce but , on a commencé par démontrer que les circonférences de cercle sont entre elles comme leurs rayons ou comme leurs diamètres (V17, &18), et l’on a pu conclure de là, que, si l’on connaissait exactement le rapport numérique qui existe entre une circonférence et son diamètre , on pourrait se dispenser de mesurer la première de ces deux lignes lorsque l’on connaîtrait la longueur de l’autre.

56&. Archimède est le premier qui se soit occupé de calculer ce rapport. ~

Il a trouvé que si l’on partageait le diamètre d’un cercle en parties égales , la circonférence contiendrait à peu près vingt-deux de ces parties , ce qui donne la proportion : Diam. ; circonf. " 7 : 22.

Ce rapport , qui n’est qu’approché , peut suffire dans beaucoup de circonstances ; mais, lorsque les instruments destinés à la mesure des angles eurent atteint une plus grande perfection , on sentit qu’il fallait donner au calcul une exactitude correspondante.

Les géomètres ont donc repris la question résolue par Archimède , et sont arrivés à des résultats plus parfaits. L’un d’eux , Adrien Métius , a reconnu que , si le diamètre était partagé en 113 parties, la circonférence en contiendrait 355. Enfin , plus tard , en prenant le diamètre pour unité, on a trouvé que la circonférence devait être exprimée par 3,lüi.l5926... etc. L’exactitude a été poussée jusqu’au cent cinquantième chiffre décimal, et l’on a démontré que ce rapport était incommensurable; d’où il faut conclure que lorsque le rayon ou le diamètre sont exprimés par un nombre fini , entier ou fractionnaire , la circonférence ne peut être exprimée qu’approximativement.

565. Maintenant que nous connaissons le rapport numérique de la circonférence au diamètre, voyous com-