VI. — Triangles /lomologiqiies

37i. Quand deux triangles ont leurs sommets deux à deux sur trois droites concourantes en un même point, leurs côtes se rencontrent, deux à deux, en trois points situés en ligne droite.

Soient ABC, abc [fig- 66) les deux triangles dont les sommets sont, deux à deux, sur les trois droites A«, Bb, Ce concourantes en un même point' S ; je dis que les trois côtés AB, BC, CÂ du premier rencontrent respectivement les trois côtés ab, bc, ca du second en trois points y, a, ë situés en ligne droite.

En effet, les deux côtés AB, ab rencontrent la droite SCc en deux points D, d; et l'on a sur ces deux côtés, respectivement, les deux séries de quatre points A, D, B, y et a, d, b, y dont les rapports anharmoniques sont égaux, parce que les trois droites Aa, Drf, Bb concourent en un même point. Donc les quatre droites issues du point G, CA, CD,CB, C y ont leur rapport anharmonîquc égal à celui des quatre droites issues du point c, ca, cd, cb, cy. Mais, dans ces deux faisceaux, les deux droites homologues CD, cd coïncident; donc les trois autres droites du premier faisceau rencontrent respectivement les Irois droites homologues du second faisceau en trois points situés en ligne droite (47). Donc les trois points S, x, y sont en ligne droite. c. q. f. n.

375. Réciproquement : Si deux triangles sont tels, que leurs côtés se coupent, deux à deux respectivement, en trois points situés

PHOPRIKTKS DU TBLANGLE.

en ligne droite, leurs soimiiets sont sur trois droites en un même point.

Les trois points a, S, ■/ étant snpposcs en ligne droite, je dis que les trois droites A.a, BÔ, Ce concourent en un mâme point. En effet, les quatre droites issues du point C, C'/, Cx, Ce et Ce ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites issues du point c, cy, cet, cC et cS, parce que celles-ci rencontrent !a droite fao aux mêmes points que les quatre premières, respectivement; donc les quatre points y, B, A, D ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points y, b, a, d; donc les trois droites Bb, Dd ou Ce et Art concourent en un môme point (42).

376. Ces théorèmes sont attribues à Desargues, parce qu'on les trouve, avec quelques autres propositions, à la suite du Traité de perspective de Bosse, imité des Méthodes de Perspective de Desargues. Les démonstrations y sont longues et pénibles. Depuis, ils ont été démontrés par plusieurs auteurs, et, en dernier lieu, par Poncelet, dans son Traité des propriétés projectiles (p. 89}, où ces théorèmes forment la base de la théorie des Jigures homologitjues. Cette théorie sera exposée dans un des Chapitres suivants (XXV*, § III); nous dirons seulement ici que Poncelet a appelé centre d'homologie des deux triangles le point de concours des droites qui joignent leurs sommets correspondants et axe d'homologie la droite sur laquelle leurs côtes se coupent deus à deux ; les deux triangles eux-mêmes sont dit honiologiques.

Les deux triangles donnent lieu à diverses relations de grandeur, ou relations métriques, fort importantes, qui dérivent immédiatement de la notion du rapport anharmonique ; mais ces relations devant se présenter plus tard comme conséquences naturelles de la théorie générale des figures hom.ographi(jaes (Chap. XXV), nous n'en parlerons pas ici.

377. Lemme. — Étant pris sur une première droite {fig- 67) deux points A, B, et sur une seconde deux points a, b, et étant

s les droites Aa, Bh tjui se rencontrent en un point S, si 'i fait tourner la seconde droite ab autour de son point de ren-

254 TIVMTÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE XIK.

contre y awec la première, le point S change de position, et alors

1° Que la droite menée par le point S parallèlement à la droite ab, dajis chacune de ses positions, rencontre la droite AB toujours en un même point I ;

Et 2" que le point S décrit un cercle qui a pour centre ce point I.

En effet, les quatre points A, B, y, I ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a, b, 7 et l'infini, sur la droite ab ; et cette égalité détermine la position du point 1. Par conséquent, cette position reste la même quand la droite ab tourne autour du point y. Ce qui démontre la première partie du lemme.

Quant à la seconde, les deux triangîes semblables SBI et bUy donnent

SI m Bl.hy

Cette valeur de SI est constante. Donc le point S décrit iin cercle qui a pour centre le point I, c. q. r. n.

Hemarque. — Si la droite ab, en tournant autour du point y, sort du plan de la ligure, le point I sera toujours fixe, et le point S décrira une sphère ayant son centre en ce point.

378. Quand deux triangles sont homologiques, si l'on fait tourner le plan de l'un d'eux autour de l'axe d'homologie, les droites qui joignent deux à deux leurs sommets homologues concourent en un même point, et ce point, variable de position, décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire tï l'axe d'homologie.

En effet, si l'on fait tourner le triangle ac& (Jig- 'JS ) autour de la droite aê, les deux droites AB, ab, qui se rencontrent en y, sont dans un même plan, et par conséquent les deux droites A«, B5 se rencontrent, puisqu'elles sont dans ce plan. Pareillement, la droite Aa rencontre la droite Ce, et celle-ci rencontre la droite B£. Or ces trois droites A a, Mb etCc, qui se rencontrent deux à deux, ne sont pas dans un même plan ; il s'ensuit qu'elles se rencontrent en un même point S.

Menons par ce pointdes parallèles aux trois côtés du triangle aie,

lesquelles, étant dans un même plan parallèle à celui du triangle , rencontreront les côtés du triangle fixe ABC en Irois points I, 3, K situés sur une droite parallèle à l'axe d'homologi e xëy. D'après le lemme, ces trois points resteront fixes et seront les centres de trois sphères sur lesquelles se mouvra le point S. Donc ce point décrira un cercle, intersection commune de ces sphères, et situé dans un plan perpendiculaire à la droite IJK, et par conséquent à l'axe d'homologic aSy. c. q. f. d.

Remar^iue. — Les trois droites An, Bi, Ce concourant en un même point dans l'espace, les deux triangles sont la perspective l'un de l'autre ; on peut donc donner au théorème cet énoncé :

Quand on a mis en perspective une ^gu/'e plane sur un tahleau plan, si V on fait tourner le tableau autour de la ligne de terre (' ), les deux figures restent toujours en perspective , et le lieu de tœil, ijui change de position dans l'espace, dâcrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre ( ^ ) .

g II. — Application des théorèmes précédents à la démonstration de diverses propriétés du triangle.

379, La proposition [361), rclulive aux segments qu'une ti-ansversale fiiit sur les côtés d'un triangle, est connue généralement sous le nom de Théorème de Ptulémée, parce qu'on la trouve dans le grand Traité d'Astronomie de ce géomètre, où elle sert pour démontrer le théorème analogue sur la sphère, qui forme la base de la Trigonométrie sphérique des Grecs. Mais cette proposition n'est pas de Ptolémée ; elle remoate plus haut : on la trouve dans les sphériques de Rlénélaus, géomètre antérieur, de près d'un siècle, à Ptolémée. Plus tard, Pappus l'a démonti-ée et s'en est servi dans ses Collections mathématiques. Les Arabes et les géomètres européens, à la re-

(') On appelle ligne de terre la droite d'inlerseclion du plan de la figure mise en perspective par le plan du tableau.

(') Celle ppoposilion ne se rencontre pas dans les Traités de perspective, oA elle

elle est comprise implicitement dans les beaux tbéorèiues de Poneelot suc lu perspectire des sections coniques. (Voie Traité des propriétés projectiles des Jigures, p. 55 et ,5.)

256 THAITE LE GEOMETRIE S

naissance et encore au xvii° siècle, en ont fait un grand usage. On la trouve

notamment dans le petit Traité de Pascal intitulé Essai pom- tes coniques.

Chez les anciens, ce théoi'ème servait principalement pour composer les

raisons de raisons, c'est-à-dire pour former le produit de deux rapports et

l'exprimer par un rapport «nique. Ainsi, soient—^ et — [fg. 69) les

deux rapports dont on veut former le produit. On place les deux lignes m A, rtD de manière que leurs exti'émités A et D coïncident, et l'on forme ainsi le ti-iangle BAC, dans lequel la di'oite mit détermine sur la base BC les deuï

segments joCij^B, dont le rapport ^ est égal au produit des deux rapports

donnés. Les Arabes se sont beaucoup exercés sur ce sujet, aujourd'hui de peu d'intérêt.

Le théorème (366) sur les segments que trois droites menées d'un môme point aux trois sommets d'un triangle font sur les côtés opposés avait été attribué à Jean BeinouUi, parce qu'on le trouve dans le recueil de ses Œuvres (t. IV, p. 33), Mais on a remarqué depuis que ce théorème avait été démontré antérieurement par le géomètre italien Jean de Céva, dans un Ouvrage intitulé : De lineis redis se ineicem secantibus statica coiistructio (Milan, 1678, 01-4.°), Ouvrage dans lequel l'auteur emploie des démonstrations fondées sur des considérations de Statique.

Carnot, après avoir démontré ces deux théorèmes dans sa Géométrie de position, les a reproduits dans son Mémoire intitulé Eisai sur la théorie des transversales, en les regardant, le premier principalement, comme le fondement de cette théorie. " Ce théorème, dit l'illustre auteur, qui doit être regardé comme le principe fondamental de toute la théorie des transversales.,., s

L.es deux théorèmes ont eu, dans les Ouvrages de Carnot, et depuis dans ceux de quelques autres géomètres, un usage spécial et un usage général. Un usage spécial pour démontrer, par l'un, que trois points, considérés dans une figure, sont en ligne droite, et par l'autre, que trois droites passent par un même point : c'est ainsi qu'on démontre avec une grande facilité, par exemple, que les trois centres de similitude directe de trois cercles pris deux à dtux sont en ligne droite ; ou bien que les droites menées des sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposes passent par un même point. Dans leur usage général, les deux théorèmes peuvent seiTir de lien ou de transition pour la démonstration d'autres propositions. On peut en faire usage, par exemple, pour démontrer les propriétés du quadrilatère sur rinvolution. Mais ces applications des deux théorèmes sont bornées, et les démonstrations qu'ils procurent sont, en général, beaucoup moins faciles que celles que procure la ihéorie du rapport anharmonique. On le conçoit;

DU TRIANGLE. aS?

car, outre que les deux the'orèmes sont moins simples que la notion du rapport anharmonique, el moins propres, par conséquent, à trouver des applications, ils se réduisent à eux-mêmes et ne donnent pas lieu à des théories étendues comme celles du rapport anliarmonique, de la division homographique et de l'involution, qui ne sont au fond que des développements de cette notion simple et élémentaire du rapport anliirmonique.

380, On ne s'est servi, jusqu'ici, que des deux tli:?orèmes dont nous venons de parler, dans lesquels on considère tes segments faits par trois points sur les côtés d'un triangle; mais il est indispensable d'y joindre les théorèmes correspondants (363) et [365) relatifs aux sinus des angles que les droites menées des sommets à ces points font avec les eûtes, car ils onl leure applica lions propres, qui peut-être même sont les plus nomh euses

Les théorèmes dans lesquels on considère tout à la fois une transveisde et un point fixe dans le plan d'un triangle, et qui présentent une ipplica tion plus directe de la théorie de l'involution, seront cgalement utiles comme nous allons le voir.

381- Les polaires eV un même point relati\'es aux trois angles d' u'i triangle vont rencontrer^ respectivement, les côtés opposes en trois points situés en ligne droite.

En effet, soient An', Bb', Ce' \fig. ']o) les polaires du point O, relatives aux trois angles du triangle ABC [336); et rt', fi', c' les points oii elles rencontrent, respectivement, les côtés opposés. On a, relativement aux trois droites issues du point 0, l'éqnation [3, 365); mais, les deux droites OA, k.a' divisant harmoniquement l'angle en A, on a

Pareillement

sinOAB sii

sinOAC sii

sinOBC sinOBA"

sinè'BG = sinè'BA ''

sinOCA sinOCB

De aorte que l'équation ( 3 ) se ch^tnge .

en celle-ci

sinn'AB sin/ZBC

sin^'CA

sin«'AC sini'BA

sinc'CB

iont en ligne droite.

258 TRAITE DE OEOMETItlE SUPERIEURE. — CHAPITRE XIX.

CoROLijiiBE. — Si le point O est à rinfitii, les trois droites OA, OB, OC seront parallèles, et le théorème prendra cet énoncé ;

Une transversale étant menée dans le plan d'un triangle, les droites qui vont des sommets des twis angles aux points milieux des segments interceptés sur la transfiersate pur ces angles respectivement rencontient les côtés opposés en ti-oîs points qui sont en ligne droilc.

382. Les polaires d'un point relalires à deux angles d'un triangle se coupent sur la droite qui joint ce point au sommet du troisième angle.

Soit 0' [fig. 71] le point d'intersection des polaires du point 0 relatives aux deux angles A et B ; je dis ijuc le point 0' est sur la droite OC. En effet, AO' et BO' étant les polaii-es du point 0, on a

du point 0,

sinOAB sinOAC"

sinO'AB ~ siuO'A-C ''

sinOBC sinOBA

sinO'BC sinO'BA

De sorte

que l'équation [3, 365), relative

■ aux trois dn

Dites issues di

devient

sinO'AB !

sinO'AC f

iinO'BC si iinO'BA si

m OCA inOCB"

Mais, en

menant la droite O'C

,ona

sinO'AE f

sinO'AG i

;inO'BC s' iinO'BA s

inO'CA inO'CB

Donc

OCA sii OCB si

iiO'CA nO'CB'

ce qui p

■roTiveque

les deux di-

oiles OC e1

; O'C sont coî

ncidentes; c''

383. Si dans le plan d'un triangle ABC [Jîg. 72 ) on mène une transversale qui rencontre ses côtés en trois points a, b, c, et que sur chaque côté on prenne le conjugué harmonique du point de rencontre de la transversale, par rapport aux deux sommets du triangle, les droites qui joindront les tivis points aimi détermines, aux sommets opposés, passeront par un même point.

(/B AC ^ 'aX.bl'c

PHOPRIBIES »U TIVIANGLE.

^ 'FI Ta'

ce qui prouve que les trois droites An', B!/', Ce' passent par un mémo point (367).

ConoLiAiBE. — Si la transversale est à i'inlini, on en conclut (jue : Les trois droites menées des sommets d'un triangle auj: niî/ieax des côtés opposés concourent en un même point.

384. Si dans le plan d'an triangle on mène une transversale et qu'on prenne sur deux côtés les points qui anec la transversale divisent ces côtés, respectivement, en rapport harmonique, les deux points ainsi déterminés seront en ligne droite avec le point de rencontre du troisième côté par la transversale.

En efFel, la transversale rencontre les trois côtés du triangle ABC en a, b, a [fig. 72), et l'on a

oE èC cA âc îÂcB "'■

Si sur les côtés AB, AC on prend les points c' , b' qui avec c, b, respecles divisent harraoniquenient, on aura

«B h^ ç^A, ûC Fa 7b~ ''

ce qui prouve que les trois points b', c' et « sont en ligne droite.

385. Dans un triangle, les bissectrices des trois angles passent par un

sin«AB sintBC sincCA , ^ Car chacun des trois rapports —. -t —. — j-^r— j -; -r^ fis. 73 est

égal à — 1; par conséquent leur produit est égal lui-même à — 1 ; ce qui prouve que les trois droites passent par on même point.

yGoosle

- CHAPITRE XIÏ.

386. Dans un triangle, les hisseclrices des suppléments des tmis angles rencontrent les côtés opposés en trois points situes en ligne droite.

En effet, si les points a, b, c appartiennent aux bissectrices des suppléments des trois angles, chacun des trois rapports ~-. ~y ••• est égala + i.

Leur produit est donc anssi égal à -h i; donc les trois droites rencontrent, respectivement, les côtés opposés en trois points situes en ligne droite.

387. Dans un triangle, les bissectrices de deux angles et la lissec/r/ce du supplément du troisième angle rencontrent respectivement les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.

^ „ , , . sinaAB sinèBC sineCA

En eflet, deux des trois rapports -^ — — , ■ ~ - — et -: — —- sont égaux

à — I , et le troisième à 4- 1 ; leur produit est donc égal à -h i ; ce qui prouve que les trois points a, b, c sont en ligne droite.

388. Dans un triangle, les bissectrices des suppléments de deux angles se rencontrent sur la bissectrice du troisième angle.

En effet, pour les bissectrices des suppléments des deux angles B et C (Jîg. 74 ), îcs rapports ^^j^ et J|^^ sont ég.iux à + i , et pour la bissectrice de l'angle A le rapport -: ~ est égal à — i ; le produit des trois

rapports est donc égal à — i : ce qui prouve que les trois bissectrices passent par un même point.

389. Si d'un point on mène des rajons aux t des pcrjiendiculaircs à ces rayons, ces droites rencontrent les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.

En ettet, les trois droites perpendiculaires 5 celles qui vont aux sommets du triangle forment, avec celles-ci, un faisce;iu en involution (253). Donc elles rencontrent les ti-ois côtés en trois points en ligne droite ( 368 ) .

390. Concevons qu'on ait mené par le point 0 [fig. ■jS) trois droites formant avec les trois 0 A, OB, OC, respectivement, trois angles qui aient la même bissectrice OL ; ees trois droites rencontreront, respectivement, les trois cotés opposés aux sommets A, B, C, en tivis points situés en ligne droite. Car elles formeront avec les trois OA, OB, OC une involution [25i).

Si trois rayons partant îles sommets d'un triangle vont se i'éfiéchir en un m^me point sur une droite, les rayons réfiéchis renconlteront, tespecthement, les trois cotés opposés du triangle, en trois points situés en ligne droite.

391. Les perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle sur les côtés opposés forment avec ces côtés sis droites ayant entre elles les relations d'involution (253); donc [369), ces trois perpendiculaires passent par un même point.