Par une considération semblable on démontre que

Si lies sommets d'un triangle on abaisse sur les côtés opposés des obliques sous des angles ayant leurs bissectrices parallèles à une même droite, ces trois obliques passeront par un même point.

Car elles auront avec les côtés du tiiangîe les relations d'involution (-25i).

393. Étant pris un point dans le plan d'un triangle, si l 'on mène les bissectrices des angles sorts lesquels on voit de ce point les tmis celés du triangle et les bissectrices des suppléments de ces trois angles :

i" Les trois bissectrices des suppléments rencontreront les trois côtés opposés respectivement en trois poiids situés en lignedroite;

2° Les bissectrices de deux des trois angles et la bissectrice du supplément du troisième rencontreront aussi les trois côtés opposés, reipcct^'Cmenl , en trois points en ligne droite.

Car les trois bissectrices que l'on considère dans chaque cas forment une involution avec les trois droites menées aux sommets du triangle ( 287] ; par conséquent, elles rencontrent les côtés opposés en trois points situés en lignedroite [368).

394. Les mêmes choses étant supposées que dans le tlièoième précédent : i" Les bissectrices des trois angles rencontrent les côtés opposés du

triangle en trois points tels que les droites menées de ces points aux sommets opposés concourent en un même point;

2" La bissectrice de l'un des trois angles et les bissectrices des suppléments des deux autres rencontrent aussi les côtés opposés en trois points tels que les droites menées de ces points aux sommets opposés concourent

a6a TBAITB DE GÉOUBTBIE SUPEKIEORE. — CHAPITRE XIX.

Ce théorème est une conséquence évidente du précèdent, en vertu du théorème (383).

395. Quand un triangle est inscrit clans un cercle, si d'un point de la circonférence on abaisse sur ses côtés des obliques sous le même angle et dans le même sens de rotation, les pieds de ces obliques sont en ligne

En effet, soit le triangle ABC inscrit au cercle [fig. 76); que par un point 0 de la circonférence on mène les droites OA, OB, OC (jui aboutissent à ses sommets, et les droites OA', OB', OC parallèles respectivement aux côtés opposés, les trois anyles (A, A'), (B, E'], (C, C) auront la même bissectrice; car l'angîe A'OC est égal, par consfi-uction, au supplénienl de l'angle ABC du triangle, et par consà^uent à l'angle AOC qui soustend la même corde. Donc les deux angles AOA' et COC ont la même bissectrice ; et il en est de même des angles AOA' et BOB'.

Ainsi les trois droites OA', OB', OC font avec les trois OA, OB, OC respectivement trois angles qui ont la même bissectrice, et, par conséquent, ces six droites forment une involution (231»]. Si l'on fait tourner les trois premières d'une même rotation autour du point 0, les angles qu'elles feront avec les trois OA, OB, OC respectivement auront encore une mÈme bissectrice, et, par conséquent, les six droites seront encore en involation. Donc les trois OA', OB', OC, devenues On, 0&, Oc dans leur nouvelle position, rencontreront respectivement les trois côtés opposés du triangle, savoir BC, CA, AB, en trois points a, b, c situés en ligne droite (368). Mais alors ces trois droites, qui primitivement étaient parallèles à ces trois côtés du triangle, sont devenues trois obliques abaissées sur ces côtés sous le même angle et dans un même sens de rotation à partir des perpendiculaires à ces cotés; le théorème est donc démontré.

Remarque. — Les quatie jioints 0, A, C, B sont les sommets d'un quadrilatère inscrit au cercle, et les trois angles AOA', BOB', CGC' sont égaux'aux angles formés chacun par deux côtés ojijiose's ou par les deux diagonales du quadrilatère; et cette circonstance qiie ces trois angles ont la même bissectrice exprime ce théorème :

Quand un quadrilatère est inscrit à un cercle, les bissectrices des deux angles formés respectivement par les deux couples de côtés opposés sont rectangulaires et parallèles aux bissectrices des angles formés par les deux diagonales.

396. Quand un triangle est circonscrit à un cercle, si de ses sommets

pROpRiiirES r> on abahse sur une tangente au cercle trois obliques qui soient centre sous des angles égaux et formés dans le partir des sommets, ces tiois obliques concourent en an même point.

En effet, soit [fig. 77) le triangle ABC circonscrit au cercle et dont les côtés rencontrent une tangente L en trois points a, li, c ; que du centre du cercle on mène des droites à ces points et aux trois sommets du triangle, ces sis droites seront en involution (368)- En outre, les trois angles AOa, B06, COc que ces sis droites forment deux à deux ont la même bissectiice, car les deux angles AOC, aOc qui sous-lendent les deux tangentes AC, ac comprises enti'e les angles opposés au sommet formés par les deux tangentes AB, CB sont égaux, et, par conséquent, la bissectrice de l'angle AOa est aussi celle de l'angle COc, et elle est pareillement la bissectrice de l'angle B0&.

Puisque les trois droites OA, OB, OC font avec les trois On, OÈ, Oc respectivement trois angles qui ont la même bissectrice, ilen sera de même si l'on fait tourner d'une même rotation les trois droites OA, OB, OC autour du point O, et, par conséquent, dans leur nouvelle position, ces droites formeront encore une involution avec les trois Oa, Ob, Oc. Donc les points a', b' , c', où elles rencontreront la tangente fixe L, formeront une involution avec les trois a, b, c. Dune les droites qui joindront ces trois points aux trois sommets du triangle passeront par un même point ( 370 ) . Mais ces droites forment trois obliques abaissées des sommets du triangle sur la tangente L et qui sont vues du centre 0 sous des angles égaux comptés dans le même sens à partir des sommets; le théorème est donc démontré.

Remarque. — Le triangle ABC et la tangente L forment un quadrilatère Ç£cb circonscrit au cercle, dont les points de concours des côtés opposés sont A et a. La droite qui joint ces points de concours et les deux diagonales Ce, Bfi sont vues du centre sous les angles AOiï, COc, BOi, et, puisque ces angles ont la même bissectrice, on en conclut que :

Quand un quadrilatère est ciivonscril à un cercle, les angles sous lesquels on voit da centre les deux diagonales et la divite qui joint les points de concours des côtés opposés ont la même bissectrice,

397. Quand trois triangles, /lomologïques deu.T h deux, ont le même axe d'homologie, leurs trois centres d'Iiomologte sont en ligne droite.

Soient abc, a'b'c', a"b"c" [fig. 78) les trois triangles dont les côtés homologues concourent ti-ois à trois en trois points «, ê, 7, situés en ligne droite; les trois côtés ab, a'b', a''b" donnent lieu aux deux triangles as'n"

3&i TRAITÉ DE GÉOMÉTRIB SUPÊlllEURE, — CHAPITRE Xl\.

et èli'b", dont les sommets sont deux à deuï sur trois droites concourantes au même point y; donc les trois côtés aa', na" et a'a" du pi-emier rencontrent respectivement les trois côtés bh', hh" et h'b" du second en trois points situés en ligne droite (37V). Or ces trois points sont les centres d'homologie des trois triangles proposés, pris deux à deux ; donc, etc.

CoBOLLAiBE. — Deux tvianglcs homothètiqiwi ou semblables etsemblablement placés sont deux triangles homologiques dont l'axe d'homologie est à l'Infini, Donc ; Quand trois Irianglcs sojit homothétiqiies deu.x à deux, leurs centres de sîmiliiude ou d'homothéiie sont en ligne droite.

398. Quand trois triangles homologiques ont, deux à deux, le même centre d'homologie, leurs trois axes d'homologie passent par un même

Soient abc, a'b'c', a"b''c" [fig. ^9) les trois triangles dont les sommets sont trois à trois sur trois droites concourantes en on même point S, centre d'homologie commun aux trois triangles. Les trois côtés ab, a'b', a"b" forment un triangle, et les trois côtés ac, a'c', a"c" en forment un second. Ces deux triangles sont homologiques, puisque les trois côtés de l'un rencontrent respectivement les trois côtés de l'autre en trois points a, a', a" situés en ligne di-otte. Donc les sommets des deux tmogies sont deux à deui sur trois di-oites concourantes en un même point (375). Or, ces droites sont précisément les axes d'Iiomologie des trois triangles proposes. Donc, etc.

PROPRIETES E