CHAPITRE XX
PROPRIÉTÉS DES P0LYG0NI8 EN GÉNÉRAL, DU QUADRILATÈRE ET DE l'hexagone.
399. Les propriétés da iriangle contenues dans les premières parues du Chapitre précédent (361-373) se distinguent par i'hypolhèse et par ia forme particulière des équations cjui expriment ces théorèmes. Car, d'une part, on y considère toujours soit un système de points pris sur les côtés du triangle, soit un système de droites menées par ses sommets, ou des points et des droites tout à la fois, et, d'autre part, l'équation qui constitue chaque théorème est toujours formée d'un produit de rapports, chacun de deux segments qui ont même origine sur une même droite, ou de deux sinus d'angles qui ont même sommet et un côté commun, produit égal à i: i, ou bien d'un produit de rapport de segments égal à un produit de rapports de sinus.
On peut former dans un triangle beaucoup d'autres relations semblables ; nous n'avons donné que celles qui devaient nous offrir une application utile.
Il existe dans les polygones des relations du même genre, dont celles du triangle ne sont que des cas particuliers cl qui comportent, comme celles-ci, l'application du principe des signes aux segments et aux angles que l'on y considère. Nous allons démontrer quelques-unes de ces propriétés. Le principe des signes nous permettra d'en conclure quelques propositions qui semblent par leur nature se rattacher à celte partie de la Science, à laquelle on a donné parfois le nom de Géométrie de situation, non pas seulement parce qu'il n'y entre aucune relation de grandeur, ce qui a lieu dans une foule d'autres théorèmes, mais à cause du genre particulier des propositions.
Ë GEOiaETHlE SUPERIEURE. —
I I. — Propriétés des polygones.
400. Quand uni transversale menée dans le plan d'un polygone ABC. . . rencontre ses côtés consécutifs en des points a, b, c, . . . , on a la relation
«A iB rC
dans la/jualle on observe la règle des signes relativement aux deux segments formés sur chaejue côté.
Nous allons démontrer que, si le théorème est vrai pour un polygone de n côtés, il l'est pour un polygone d'un côté de plus. En effet, le théorème étant supposé vrai pour le polygone AB...E de n côtés {fig- 80), on a l'équation
Formons un polygone d'un côté déplus, en remplaçant le côté EA par deux autres EF et FA. On a dans le triangle AEF, coupé par la transversale,
eA e^f^
Cette équation, multipliée membre à membre par la précédente, donne
ce qui est l'équation relative au polygone de (h + i) côtés. Donc, si le théorème est vrai pour un polygone de n côtés, il l'est nécessairement pour un polygone d'un côté de plus. Or il est vrai pour le triangle; donc, etc.
401. Corollaire. — L'équation (t) montre que le nombre des ■apports —j-) ■ ■ • négatifs est toujours pair, c'est-à-dire que ;
Une transversale menée dans le plan d'un polygone rencontre
PROPHIÉTÉ3 DES POLYGONES. 267
chaijue côté en un point situé sur le côté lui-même ou sur son prolongement, et ilj a toujours un nombre pair de côtés qui sont
402. Si d'un point O on mène des rayons aux sommets d'un polygone ABC. . . {fig- 8i}, les sinus des angles que ces rayons feront chacun avec les deux côtés adjacents auront entre eux la relation
smOAB smOBC sinOEA ^
sinOAE sinOBA sinOliD '"
le signe étant -j- ou — ■ selon que le nombre des sommets du polygone sera pair ou impair.
Nous emploierons le même mode de démonstration que pour le théorème précédent, qui consiste à prouver que, si le théorème est vrai pour un polygone de n sommets, il l'est nécessairement pour un polygone de («-)-i) sommets.
En effet, l'équation ayant lieu pour un polygone de n sommets, formons un polygone d'un sommet de plus F compris entre les deux A et E. On a dans le triangle EFA la relation
qui, innltiplléc par la précédente membre à membre, donne
siuOAB sinOBC sinOEF smOFA sinOAF smOBA*"sinOED sinOFE^ + ''
Cette équation démontre que, si le théorème est vrai pour un polygone de n sommets, il le sera pour un polygone d'un sommet de plus. Or il est vrai pour le triangle; donc, etc.
■403, C0ROI.LA1BB. — L'équation prouve qu'il y a toujours un
. , sinOAB sinOBC , ..
nombre pa.r ou .mpait de rapports jjgjj, ^jgjj , ■ ■ • , négatifs
selon que le nombre des côtés du polygone est pair ou impair, el l'on en conclut celte proposition :
Si d'un même point o
s aux sommets c
îR8 TRAITE DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CH.IPITEE X\.
les angles d'an poljgone, dont les uns seront situés dans les angles eux-mêmes [ou leurs opposés au sommet) et les autres dans les suppléments des angles;
Le nombre des rayons situés dans les angles sera pair ou impair selon que le nombre des angles du polygone sera pair ùu impair.
404. Si par les sommets d'un polygone ABCDEF [fig. 8?.) on mène arbitrairement des droites Aa, Bb, . . . , qui forment un second polygone abcdef inscrit au pi'emier, on a la relation
A« BÈ F/ ^smaAF sinJRA s
àu/FE.
lin/FA'
le signe étant -H ou — selon que le nombre a
'es côtés du poly-
gone est pair ou impair.
Nous allons prouver que, si le ihéorème est v
rai pour un poly
gone de n côtés, il l'est pour un polygone d'un côlé de plus. E effet, considérons le polygone de n côtés ABCDE, pour lequel o a, par hypothèse.
Mullipli:
ce qui démontre que, si le théorème est vrai pour un polygone de n côtés, il l'est pour un polygone d'un côté de plus. Or nous l'avons démontré pour le triangle; donc il a lieu pour un quadrilatère, pour un pentagone, etc. Donc, etc.
Observation. — Les deux théorèmes (400) et (402) peuvent être considérés comme des corollaires de la proposition actuelle, ainsi que nous l'avons vu à l'égard du triangle (371 ).
A<i Di Es |sinnAE sini'jBA s As Ba Y.d ""sini/Ali sioftUG ;
iin-ED iinsEA
ns le triangle AEF,
As Ee F/ sinsAF sineEA sin/FE A/ El Fe sinsAE sineEF sin/FA
int membre à membre, il vient
Aa Bè Ee F/ sinnAF siniBA A/B,( E^Fe '^sin<7AB sinéBC
sin/FE , sin/FA'
■105. Des droites Aa, Bb, Ce,... élant menées arbitrairement par les sommets d'un polygone ARC. . . {fig- 83), si une transversale rencontre les côtés du polygone en des points a, S,
y, . . . et les droites en des points a, b, on aura, entre les
sinus des angles que les droites font avec les côtés du polygone et les segments que ces angles inlorceptenl sur la transversale, la relation
siiirtAB sinÈBG siii^CD ^^^ ^ n ''^' sin^"F sinfiBA sincCë'" ^~^ É^ ^ ' " '
le signe étant -+- ou — ■ selon que le nombre des côtés du polygone est pair ou impair.
En effet, que par un point O pris sur la transversale on conduise des droites aux sommets du polygone, on pourra écrire
/sinaAB.siDOAB\ /sJn éBC .sinOBCN (-/'— ■^W^•~^
\sinflAF'sinOAFJ VsinèBA •sinOBA/ '" \af'0<fj [ba'Oa)'"''
car dans le second membre les facteurs 0«, Oê, . . - se détruisent deux à deux, el, dans le premier membre, tous les sinus introduits se détruisent ensemble, parce qu'on a l'équation
sinOAB sinOBC sinOCD ^
sinOAF sinOBA sinOCB'"""' ^ ''
Or les rapports anharmoniques du premier membre de l'équation sont égaux à ceux du second membre, un à un respectivement. Donc l'équation est vraie. C. Q. F. D.
406. CoROLLAmE. — Une transversale étant menée dans le plan d'un polygone, les deux côtés de chaque angle du polygone rencontrent cette droite en deux points qui déterminent un segment compris soit dans l'angle lui-mâme (ou son opposé au sommet), soit dans son supplément. On conclut du théorème qui vient d'être démontré que ; Le nombre des segments compris dans les angles eux-mêmes ou leurs apposés au sommet est toujours pair.
En effet, supposons, dans le théorème, que toutes les droites Ao, Mb, . . . soient menées dans les angles mêmes du polygone ; chaque
270 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEl'RB. — CHAPITRE XX.
rapport tel que — > relatif à l'angle A, sera négatif quand le segment fx sera compris dans l'angle A ou son opposé au sommet, el positif quand le segment sera compris dans le supplément de l'angle. La proposition revient donc à prouver que le nombre des
rapports ^t j—j ... négatifs est toujours pair. Or, quand le
nombre des angles du polygone est pair, on a le signe + dans
l'équation (4)- Mais alors le premier membre est positif, et, par
conséquent, le second l'est aussi. Donc le nombre des rapports — ! . . . négatifs est pair.
Quand le nombre des angles du polygone est impair, le signe du second membre de l'équation (4) est — . Mais le premier membre est négatif ; donc le produit — , y— !■■■ est positif. Donc
le nombre des rapports négatifs est pair, ce que nous nous proposions de prouver.
Observation. — Ce théorème et les deux (401, 403) sont de ceux qui nous paraissent se rapporter à la Géométrie de situa~ tion proprement dite, comme nous l'avons annoncé (399),
407. Etant pris de.^ points a, b,... sur les côtés d'unpoljgone ABCD... ifig- 84), si d'un point O l'on mène des droites aux sommets du polygone et aux points a, b, . , . , on aura, entre les sinus des angles que ces droites font entre elles et les segments que les points a, b, . . . font sur les côtés du polygone, la relation
sinaOA sinJ OB ^ £5 sin«OB siïTiOC'" ^ITbZc""
En effet, menons par le point O une droite ûxe OL, et appelons a', h' ,. .. les points où elle rencontre les côtés AB, BC, . . . du polygone ; l'équation pourra s'écrire
«OA sinLOA\ /sinfiOB . sinI.OB\ /«A . a'A\ /SB . i'B\
\5in-1OB
OB ■ sinLOBy \sin ôOC ' siaLOC^ \a'& ' a'nj {bC h'Cj' '
car tous les sinus introduits dans le premier membre s'annulent d'eux-mêmes deux à deux, et les segments introduits dans le se-
i DES POLYGONES. 27I
cond membre s'annulent tous ensemble, en vertu de la relation
Or chaque rapport anharmo nique du premier membre est égal au rapport aoliarmonique correspondant dans le second membre. Donc l'équation a lieu, et le théorème se trouve démontré.
408, Corollaire I. — Si toutes les droites 0(ï, Oh, . . . sont
les bissectrices des angles AOB, BOC, ..., chacun des rapports
sinnOA , i •, r\ i
-; — :r— ) ■ ■ . est égal à — i . On en conclut que :
Les bissectrices des angles sous les<}iieh on voit d'un point fixe les côtés d'un polygone AEG... rencontrent ces côtés en des points a, h, . . . tels, que l'on a la relation
le signe étant -[•ou — selon que le nombre des cotés du polygone est pair ou impair.
CoitOLLA.iEE II. — Si toutes les droites Oa, . . . sont les bissectrices des suppléments des angles du polygone, le premier membre est toujours positif. Donc :
Les bissectrices des suppléments des angles sous lesquels on voit d'un même point les côtés d'un polygone ABC. . . rencontrent ces côtés en des points a, b, . . . tels, que l'on a
On peut conclure de ce théorème les propriétés relatives au triangle, démontrées précédemment par d'autres considérations (393 et 394).
409. Etant pris des points a, b, c, , . , sur les côtés consécutifs d'un polygone ABCD. . ., si l'on /ait la perspective de la figure
■iplan, la Jonction
conservera L
Ed effet, menant une transversale qui rencontre les côtés coniéciitlfs du polygone en des points a, Ê, y, . . . , on a
«A es 7C
;4.oo);
ei, par conséquent, la fonction proposée a la même valeur que la suivante :
(iiA «A\ I bB eB\
V^'";â!/ v^^' se)""
Celle-ci devient en perspective
U'A' , ■<2^'\ /i^ . e'B'\ \^ ■ TW) [Vc ■ g'C'j' "'
et conserve la même valeur, parce qu'elle se compose de rapports anharinoniques. Mais cette dernière se réduit à
parce que les points a', G', . , . étant en ligne droite, de même que 0^, 6, . . . , on a la relation
o^' riv 7b' Wc"'~'"
On a donc
«A bB __ n'A' b'B' «B rc""~ïïW Jx!""
Ce qui démontre le théorème.
Observation. — Le théorème et la démonstration sulisistent, si, l'œil étant placé dans le plan du polygone, on fait la perspective sur une droite. Alors on prend pour la transversale cS une droite passant par l'œil.
■410. Étant donné un pofygone ABC. . .F et des di-oites A3L,Bb, Ce, . . . menées par ses sommets, si l'on fait la peispective de la figure sur un plan, la fonction
noAF sin^-BA sincCB DûAB sin b BC smcCD
ne changera pas de valeur.
C'est-à-dire que l'on aura
BbBA.
niBC"'
En effet, que par un point O pris dans le plan du polygone < mène des droites à ses sommets, on aura
inOAF sinOBA sin OCB iiiOAB sinOBC sinOCO"
et, par conséquent, la fonction proposée est égale à
^ /wn«AF sinOAFX /sJnéBA . smOBA\ ~ \sinaAB 'sinOABJ \5m6BC ' sinOBC/""
Or dans la perspective cette fonction ne change pas de valeur, parce qu'elle se compose de rapports anharmoniques. Mais les rapports correspondants à ceux que nous venons d'introduire disparaîlronl en perspective, parce qu'ils ont leur produit égal à zt I en vertu du théorème (402) ; il restera donc les rapports correspondants à ceux qui forment la fonction donnée; ce qui dvmontre le théorème.
§ II. — Propriétés du quadrilatère.
4H. Les propriétés générales d'un poiygone s'appliquent d'elles-mêmes au quadrilatère; mais cette figure donne lieu i'j quelques propositions particulières.
Si sur les quatre côtés d'un quadrilatère ABCD (^ fig. 85) on preTid t/iiatre points a, h, c, d te/s, que Von ait la relation
ak èB cC dit
''' ^ ic ^ ■5Â~ ''
274 TRAITÉ LE GÉOMÉTSIB StPËftlEURE.
et i/u'on regarde ces ijuatre points comme les sommets consécutifs iV un second quadrilatère abcd, les points de concours des côtés opposés de celui-ci seront situés sur les deux diagonales du pre-
Ainsi les deux droites ab, cd se croisent sur la diagonale AC. En effet, si l'on suppose que ces deux droites rencontrent lu diagonale en deux points différents t, e', on aura dans les deux triangles ABC, ADC les relations
« A èC e C cC dH ;'\
«B iC sA ""^ "^^ tD d'k î'C^''
Multipliant ces équations membre à membre et ayant égard à
l'équation supposée, on en conclut — = -;--■ Ce qui prouve que
les deux points s, e' coïncident. Donc, etc.
4^2. Réeiproqiiement : Si par un point z de la diagonale AC d'un quadrilatère ABCD on mè/ie deux droites quelcontfues, dont l'une rencontre les deux côtés AB, BG en a, b, et la seconde les deux côtés CD, DA. en c, d, on aura entre les segments formés par ces quatre points a, b, c, d sur les côtés du quadrilatère la relation
«A 6B c C rfD ^ ÏG c D dX^''
et, par suite, les deux droites da, clo se couperont sur la seconda diagonale BD.
En effet, si les deux droites aB, cd se croisent en un point e sur la diagonale AC, on aura les deux équations précédentes, en écrivant E au lieu de e' dans la seconde; et ces équations multipliées membre à membre donnent l'équation (i).
Cette équation étant démontrée, il s'ensuit que les deux droites ad, bc se croisent sur la diagonale BD (4H ).
Corollaire. — Si les deux droites menées par le point « de la diagonale AC se confondent, les deux équations dont nous venons de faire usage ont toujours lieu, et l'on en conclut l'équation (i). Ce qui démontre directement la propriété du quadrilatère, com-
prise dans le théorème général (iÛO), savoir; Quand une transversale rencontre les quatre côtés d'un quadrilatère ABCD en ijuatre points a, b, c, d, on a la relation
«A iB rC £D
«B ÏGtD rfA "
413. Si pai- les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère ABCD [Jîg- 86) on mène deux droites qui rencontre?it, respectivement, les deux couples de côtés opposés en a, c et b, d, on a, entre les segments que ces points forment sur les quatre côté.-du quadrilatère, la relation
ak bli cC rfD
iTË ÎC ^ rfZ ~''
et, par suite, le quadrilatère abcd, qui a pour sommets co/tsécutijs ' ces quatre points, a les points de concours de ses côtés opposés sur les deux diagonales du quadrilatère ABCD.
En efi'et, les deux séries de quatre points E, A,<ï, B et E, D, c, C ont leurs rapports anharmoniques égaux; dn sorte qu'on a
nA .EA çD ED
^ ■ ËB ^ ^' ËC"
On a pareillement
^. FB -^ , FA l)C ' FC "" dD ' Vd'
Ces équations multipliées membre à membre donnent
t iB cC rfD EA.KC . FA .m ) bC cD rfA~ EB.ED ' FB.FD'
Or le second membre est égal à l'unité (359, I). Donc, etc.
Ma. Si par les sommets d'un quadrilatère ABCD {/ig- ?,y on mène des droites An, BL, Ce, Dd telles, que l'on ait la relation
27(3 TRAITÉ DE GEOUÉTRIE
ces quatre droites seront les côtés consécutifs d'un quadrilatère abcd circonscrit au proposé, et dont les diagonales passeront par les points de concours des côtés opposés de celui-ci.
Cela résulte du théorème (-iH), en vertu de la proposition (40-4). Car, l'équation (2) ayant lieu par hypothèse, l'équation (1) a lieu d'après celte proposition ; et par conséquent la diagonale AC passe parle point de concours des côtés opposés ba, cd (^ii). Donc, etc.
Observation. — On peut démontrer le théorème dlrecl^menl, d'une manière analogue à celle par laquelle nous avons démontré le théorème (411).
MS. Cobollaihes. — Dans tout quadrilatère, les bissectrices des quatre angles forment un second quadrilatère dont les diagonales passent par les points de concours des côtés opposés du premier.
Et il en est de même quand le second quadrilatère est formé soit par les bissectrices des suppléments des quatre angles, soit par les bissectrices de deux angles et les bissectrices des suppléments des deux autres angles.
Car, dans chacun des trois cas que présente ce théorème, les droites bissectrices que l'on j considère donnent lieu k l'équation {2) précédente.
416. Si par les sommets d'un quadrilatère ABCD on mène quatre droites Aa, Bb, Ce, Dd, de manière que le second quadrilatère abcd, formé par ces droites prises pour côtés consécutifs, ait les points de concours de ses côtés opposés sur les deux diagonales du premier, on aura entre les sinus des angles que ces droites font avec les côtés du quadrilatère la relation
sinftAD sinéBA sincCB sinriDC sinaAB sin6BG amcCD simiDA ~' ' '
et, par suite, les diagonales de ce second quadrilatère abcd passeront par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère ABCD.
En effet, les diagonales du quadrilatère ABCD (fig. 88) passent,
PROPHIKTES DU QVM
par hypothèse, par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère ahcd; par conséquent, on a, d'après le théorème (413), l'équation
A« Bê Ce nd
TbBcCdJia''^'
Donc, d'après le lliéorèrae (404) appliqué au quadrilatère, on a l'équation qu'il s'agit de démontrer.
Et cette équation ayant lieu, il s'ensuit, d'après le théorème précédent, que les diagonales ac, bd du quadrilatère abcd passent parles points de concours des côtés opposés du quadrilatère ABCD.
§ m. — Quadrilatère gauche, — Hyperboloïde à une nappe.
417. Le théorème (4H) et sa réciproque s'appliquent d'euxmfimes au quadrilatère gauche; ce qui donne lieu à ce théorème :
Quand un plan rencontre les quatre côtés d'un quadrilatère gauche ABCD en quatre points a, b, c, d, on ala relation de seg-
aA &B cC ^
Et réciproquement : Quand cette relation a lieu, les quatre points a, b, c, d sont dans un même plan.
418. On conclut de ce théorème une propriété de l'hyperboloïde à une nappe, d'où résultera immédiatement une démonstration de la double génération de cette surface par une ligne droite.
On appelle hjperholoïde à une nappela. surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur trois droites fixes. D'après cela;
Si une droite ac [fig- Sq) glisse sur les deux côtés opposés AB, CD d'un quadrilatère, de jnanièra qu'on ait toujours la relation
y. étant une constante, celte droite engendre un hyperholoïde i une nappe.
■iyS TBAITÉ l>E GÉOMÉTRIE St'PÉBIEURE. — CIMPITRE XX,
En effet, que l'on prenne sur les deux autres colés du quadrilatère deux points fixes b, d tels que l'on ait
dk h^ dD~ 'hC'
il existera entre ces points et les deu'c n, c la rcblinji
akbBcC^dD
qui prouve que les quatre points sont dans un même plan ; c'est-àdire que la droite ne rencontre toujours la droite fixe bd. Cette droite se meut donc en s'appuyanl sur ti'ois droites fixes AS, CD et bd; par conséquent elle engendre on hyperboloïde à une nappe.
ConOLLAiitE. — En observant que la position de la droite bd esf «déterminée, puisqn'i! suffit que l'on ait
un en conclut i|ue toutes les droites qui satisferont à eetle relation s'appuieront sur toutes les génératrices flcdel'hyperboloïde, et par conséquent seront, dans toute leur étendue, sur cette surface. Donc :
La surface engendrée par une droite tjui s'appuie sur trois droites fixes, peut l'être d'une seconde manière par une droite
s' appuyant sur trois positions fixes de la première génératrice (').
■419. L'équation — - ^=?. — ^ montre que les deux points a, c
forment sur les deux côtés du quadrilatère AB, CD deux divisions h 0 mo graphique s ; de sorte que le théorème (418) peut s'énoncer
démonstration géométrique de la double gônération de l'hvperboloid par une li^iie droite a été donnée (en novembre iSn) dans la Con r 1-Ècole P^bteK^kiiique, t. Il, p. i^lS.
PnOPRlliTES DU QUADBILATËfiE. 279
Quand deux droites dans l'espace sont divisées homographi- (juenient, les droites qui joignent deux à deux les points homologues des deux divisions engendrent un hyperboloïde à une nappe.
420. Puisque les deux points «, c forment sur les deux côtés AB, CD deux divisions homographiques, si autour de ces deux côtés on fait tourner deux plans passant, respectivement, par les deux, points c et n, ces deux plans, dont la droite d'intersection sera la génératrice ac de l'hyperboloïde , formeront deux faisceaux (*) homographiques ; on a donc ce théorème :
Si, autour de deux droites fixes, on fait tourner deux plans dont les positions successiyes forment deux faisceaux homographiques, leur droite d'intersection engendrera un hjperboloïde à une nappe.
Corollaire. — On conclut de ce théorème que : Si l'on fait
tourner deux plans rectangulaires autow de deux droites fixes dans l'espace, leur droite d'intersection engendre un hyperboloïde à une nappe.
Il suffit de prouver que les deux plans mobiles forment deux faisceaux homographiques.
Soient A, B, G, ... des positions du premier plan, qui tourne autour de la droite L, et A', B', C, ... les positions correspondantes du second plan, qui tourne autour de la droite L'. Que d'un point fixe O', pris sur la droite L', on abaisse des perpendiculaires sur les plans A, B, C, . . , , ces droites, situées dans les plans A', B', C, . . ., respectivement, seront toutes dans un même plan, perpendiculaire à la droite L; donc le rapport anharmoniqiie de quatre de ces droites sera égal à celui des quatre plans A', B', , ■ ■ dans lesquels elles sont situées (17) ; mais leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre plans A, B, . . . , parce que ces droites sont perpendiculaires à ces plans respectivement. Donc le rapport anliarmonique des quatre plans A, B, ... est égal à celui
[') Nous appelons faisceau de plant une série 6e pions passant par une même
E SUPKRIFiTJRC. — CHAPITRE XX.
des quatre plans correspondants A', B', ... ; ce qu'il fallait prouver. Donc, elc. (' ).
421. Quatre points c, c', ... appartenant à quatre génératrices ac, a' c' , . . . ont leur rapport anharmoniquc ég'al à celui des quatre plans qui, ayant pour arête commune le côlé AB, passent respectivement par ces quatre génératrices, lesquels sont les plans tangents à l'hyperboloïde aux points a, a', .... Donc, puisque les quatre points c, </, . . . ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a, a', . . . , on peut dire que :
Les plans tangents à un kyperboloïde, en quatre points d'une même génératrice AB, ont leur rapport anharmonique égal h celui de ces quatre points.
Ce théorème donne lieu, par les conséquences qu'on en peut déduire, à diverses propriétés de l'hyperboloïde, cl en général des surfaces engendrées par une ligne droite. Mais ce n'est pas ici le moment de li-aiter celte matière [^}.
g IV. — Propriétés de l'hesagone.
-422, Etant données six droites, si deux d'entre elles sont divisées homographiquement par les quatre auti-es, il en sera de même de deux quelconques des six droites.
('] Les pieds des perpendiculaires abaissées du point O' sur les plans A, 1t, . . . sont, éTidemment, sur l'iijperboloîde; or le lieu de ces points est un cercle situe dans la plan perpendiculaire k la droit« L, mené par le point O' ; on en conclut donc que : Les sections cireulairei dt i'hyperboldide sont dans des plans perpendiculaires aux deus droites L, 1'.
Cet hyperboloïde, engendré par In droite d'intersection de deox plans rectangulaires tournant autour de deui droites fiies, jouit d'une propriété intéressante : On peut déterminer d'une infinité de maniires an systime de dtux droites telles, que le' distances de choque point de l'hyperboloïde à ces deux droites ont un rapport constant. (Voir Journal de Mathématiques âe M. Liouïille, t. T, p. 3i.'t; année |836.)
(') On peut consulter un Mémoire sur les sur/aces engendrées par une ligne droite, dans le Tome XI da la Correspondance mathématique et physique de M. Quelelet, année i83S, p. jg-jiS.
LIIRXAGOXE, 281
Soient A, B, C, D, E, F [fig- 90) les six droites, dont les quatre premières divisent homographiquement les deux E, F, c'est-à-dire en deux séries de quatre points a, b, c, d sur E, et a, b', c', d' surF, qui ont leurs rapports anharmoniques égaux.
Je dis que les deux droites A et B sont aussi divisées homographiquement par les quatre autres C, D, E, F,
En effet, soit 0 le point de concours des deux droites C, D : les deux séries de quatre points a, b, c, d cl «', b', </, d' ayant leurs rapports anharmoniques égaux, il en est de même des deux faisceaux de quatre droites Oa, Oh, C, D et O^ , Ob', C, D. De sorte qu'on a l'équation
in(Ofl, C] . sin(0&. C) sin(Oa', C) sin(OZ.', C)
sin(Ur-
sLn(06,D)
sin(0«', D) ■ [
iin(Oi',D)'
siii{0«
iiLl(Ort', C)
sin(OÔ, C).:
sir,(Oi', C)
sin(0«
sin(0«',D)
sin[Ot, D) • ;
sm(06',D)
Ce qui exprime que les deux faisceaux de quatre droites Oa, Oa\ C, D et Ob, Ob', G, D ont leurs rapports anharmoniques égaux. Donc les quatre points d'intersection du premier faisceau par la droite A ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points d'intersection du second faisceau par la droite B. Ce qui démontre que les deux droites A, B sont divisées homographiqucment.
1! reste à montrer que l'une des deux droites E, F et l'une des quatre autres, par exemple E et D, sont divisées aussi homographiqucment; cela résulte de ce que les deux A et B sont divisées homographiquement. Ainsi le théorème est démontré complètement.
423. Quand deux côtés d'un hexagone sont divisés homograpkiquement par les t/uatre autres, les trois diagonales t/iii joignent les sommets opposés passent par un même point.
Soit ABCDEF {fig- 91) l'hexagone; considérons deux eûtes opposés AB, DE. Soient (f', e' les points de rencontre du premier par les deux côtés CD, EF ; et b', a' les points de rencontre du second par les deux côtés BC, AF. Les quatre points A, B, d', e' ont, par hypothèse, leur rapport anharmonique égal à celui des
^8a TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE X^.
cjiiatre a', b' , D, E; ceux-ci peiivenl être écrits dans l'ordre E, D, b', a' [Aà); nous dirons donc que les deux séries de quatre points A, B, d', e' et E, D, b', a' ont leurs rapports anharmoniques égaux. 11 s'ensuit que les droites menées de deux points quelconques de la première série aux deux points correspondants de la seconde, pris inversement, se coupent sur une même droite (H3), Les deux points C, F et le point de croisement des deux diagonales AD, BE sont des points de cette droite. Donc les deux diafjonales AD, BE se coupent sur la troisième diagonale CF.
