On conclut sans difficulté de ce théorème que

Réciproquement : Quand les trois diagonales qui joignent las sommets opposés d'un hexagone passent par un même point, deux côtés quelconques de l'hexagone sont divisés homographiquement par les t/ualre autres.

■425. Etant donnés six points, si les faisceaux formés autour de deux de ces points par les lajons menés aux quatre autres sont homo graphiques (c'est-à-dire ont leurs rapports anhannoniques égaux), il en est de même pour deux quelconques des six points.

Soient A, B, C, D, E, F {fig, ga) les six points. Les deux faisceaux qui ont pour centres les deux points E, F et dont les rayons passent par les quatre autres points A, B, C, D ont, par liypoihèse, leurs rapports an harmoniques égaux; je dis qu'il en est de même des deux faisceaux qui ont pour centres les deux points A, B et dont les rayons passent par les quatre autres points C, D, E, F.

En efifet, la droite CD coupe les deux premiers faisceaux, qui ont leurs centres en E et F, en deux séries de quatre points a, b, C, D et a\ b', C, D qui ont leurs rapports anharmoniqnes égaux, puisque les deux faisceaux sont homographiques. On a donc

«C . fiC n^. i^C «C a'C hC h'C

ab ■ bD " «'D' t'D '"' oD ■ a'D " bD ' è'D'

PUOPRlETtS DK LIIEÏ.VGONE. a8,J

ce qui exprime que les quatre points a, a', C, D ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre h, b', C, D. Donc le faisceau qui a son centre en A et dont les rayons passent par les quatre points a, a', C, D a le même rapport anharmonique que le faisceau qui a son centre en B et dont les rayons passent par les quatre points h, b', 0, D ; c'est-à-dire que les quatre droites menées dvi point A aux quatre points K, F, D, C ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites menées d« point B aux quatre mêmes points.

11 nous reste à prouver que les deux faisceaux qui ont leurs centres en l'un des deux points E, F et l'un des quatre A, B, C, 0, par exemple en E et D, et dont les rayons passent par les quatre autres points, sont aussi liomograpliiques . Or cela résulte de ce que les deux faisceaux qui ont leurs centres en A et en B sont liomographiquos. Le théorème est donc démontré.

■426. Quand dans un hexagone les rayons menés de deux somjnets aux ijuatre autres Jormenl deux faisceaux homograpliiques, les points de concours des côtés opposés sont en ligne

Soient l'hexagone ABCDEF (Jig. gS) et G, H, I les points de concours des trois couples de côtés opposés AB, DE; RC, EF; CD, FA. Je dis que ces trois points sont en ligne droite.

En effet, les quatre droites BA, BC, BD, BF ont le même rapport anharmonique que les quatre EA, EC, ED, EF par hypothèse, et, en changeant l'ordre de celles-ci, on peut dire que les quatre premières ont le même rapport anharmonique que les quatre EF, ED, EC, EA (49). Donc les points d'intersection de deux droites quelconques de la première série par les deux droites correspondantes de cette dernière, prises inversement, sont deux points toujours en ligne droite avec un même point fixe (H6). Or D et C sont un système de deux tels points, F et A un autre, et G et H un troisième. Donc les trois droites DC, FA, GH passent par un même point, c'est-à-dire que le point I est en ligne droite avec les deux G et II ; ce qu'il fallait prouver. Donc, etc.

427. Réciproquement : Quand les trois points de concours des côtés opposés d'un hexagone sont en ligne droite, les faisceaux

iSi TRAITE DE GEOHETIIIB SUFEHIEUKE. — CHAPITRE XX.

qui ont pour centres deux sommets i/uelconques de l'hexagone et dont les rayons passent par les quatre autres sommets sont komographiques.

Cette réciproque se conclut de la proposition directe, sans dif-

428. Obseryalion. — Les hexagones auxquels se rapportent les proposilions précédentes jouissent de diverses autres propriétés qu'il serait aisé de démontrer ici, mais qui se présenteront plus naturellement dans la théorie des sections coniques.

5 DUNE rnoiTE.