CHAPITRE XXI

ÉQUATIONS d'une DROITE, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉÏETl- MINER TOUS LES POINTS d'uSE LIGNE DROITE.

§ I. — Ë^ation entre les segments faits sur denx droites par des rayons tournant autour de deux pôles fixes.

429. Nous avons vu (Cliap. XVII) ((u'on peut décrire de diverses maQières une ligne droite par le point d'intersection de deux rayons tournant autour de deux points fixes; il suffit que CCS deux rayons forment deux faisceaux homographiques tels, que la droite qui joint les deux points fixes, considérée comme appartenant au premier faisceau, soit elle-même son homologue dans le second faisceau. Si, au lieu de déterminer l'homographie des deux faisceaux par des constructions géométriques, comme nous l'avons fait, on l'exprime par une relation d'angles ou de segments, celte relation constituera une équation de la droite. Nous allons chercher les diflerenles formes d'équations auxquelles ces considérations donnent lieu.

430. -Si autour de deux pôles fixes P, P' (fig. 94) on fait tourner deux rajons rencontrant respectivement deux axes fixes EA, E' B' en deux points m, m' tels que l'on ait la relation constante

dans laquelle A et B' sont deux poinU fixes pris arbitrairement sur les deux axes, E, E' les points où ces axes rencontrent la droite PP' et a., S, v des coefficients constants, le point de concours des deux rajons Pm, P'm' décrira une ligne droite.

En effet, l'équation exprime que les deux points m, m' forment

286 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIB SIJPÉRIEUBE. — CHAPITRE XXI.

sur les deux axes EA, E'B' deux divisions homographiques dans lesquelles E et E' sont deux points homologues (129); d'où il suit que les deux droites Pm, Vm' décrivent deux faisceaux homographiques qui satisfont à la condition que la droite PP' soit ellemême son homologue dans les deux faisceaux. Donc le point d'intersection des deux rayons Vm, Vin' décrit une ligne droite (HO) ; ce qu'il fallait prouver ( ' ).

Il est clair que, réciproquement, une droite étant donnée, on pourra toujours déterminer deux des trois constantes a, 6 et v, l'autre étant prise à volonté, de manière que l'équation (a) corresponde à la droite.

•431. Nous avons vu (129) que dans l'équation (<ï) un ou deux des points fixes A, E, B', E' peuvent être situés à l'infmi et que le segment qui se rapporte à un point situé à l'infini disparait de l'équation comme s'il était devenu égal à l'unité. Il s'ensuit que, sans changer la position des deux pôles P, P', mais en supposant que l'une des deux origines A, B' ou toutes deux soient à l'infini, ou bien que l'un des deux axes EA, E'B' ou tous deux soient parallèles à la droite PP', on aura les quatre équations suivantes, toutes également propres à représenter une ligne droite quel-

C'JIIeii

trois âim

ensions ui

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lorèiT

.e.„.l.gue,sav

aie:

Ètain do,

'tnés, dans l'espace, un ci :rent le plan du triangle fixes A, B', C", «■ auto.

-iai/gle ec en trois p ir dos tro,

oints E, E' is côtés dii.

fixe

■, E", tria

s de 'ngle

tant pris sur CCI on fait tourner

vique

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iiits m, m', m'

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que l'on ai

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= lï-

■lanl îles coefficients coiu

:lants, le

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■ctio,

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■s de-

ÉQrATioss d'i'nb droite. 287

■432. Quand dans ces équations, de même que dans («), la constante V est nuîle, l'équation devient à deux ternies, et alors les points fixes A, B' sont deux points homologues des deux divisions homographiques (121), et la droite lieu du point d'intersection des deux rayons tournants P/k, P'm' passe par le point de rencontre des deux droites PA, P'B'. Cela a lieu même quand les points A et B' sont à l'inlini.

433. Les pôles P, P' sont pris arbitrairement ; la seule condition à observer, c'est que ces points et les deux E, E' soient tous quatre sur une même droite. Cette droite peut être à l'infini; alors les droites Pm sont parallèles entre elles, ainsi que les droites P'm', mais sous une autre direction, et l'équation devient

On a donc ce théorème ;

Si sur deux axes on prend, à partir de deux points fixes A, B'(/îg. 95), deux segments -variables Am, B'm' liés ent/'e eux par la relation du premier degré

et que par les points m, ra' on mène des droites parallèles à deux autres axes fixes, le point d'intersection de ces deux droites décrira une ligne droite.

CoROLLAiiiE. — Coordonnées de Descartes. Si les deux points fixes A, B' coïncident en O [fig- 96) avec le point d'intersection des deux axes, et si les droites Mm sont parallèles à l'ase Om' et les droites Mwi' parallèles à l'axe Qrn, les deux segments Oni, Om' seront précisément les deux coordonnées x^j du système de Géométrie analytique de Descartes; et le théorème exprime que l'équation du premier degré

est celle d'une ligne droite.

'j88 traite de GEOMETRIE SUPERIEURE. -

43i. Reprenons le cas où les points A, B', origines des segments Am, B'm' {fig- q5), sont quelconques, ainsi que les directions des deux axes fixes auxquels les droites Mm, Mm' sont parallèles.

Que l'on mène par le point fixe A la parallèle à la droite Mm et qu'on abaisse sur eette droite l'oblique Mp parallèle à Am; on aura M;? ^ Km. Pareillement, ayant mené par le point fixe B' !a parallèle à Mmi' et abaissé du point M sur cette droite l'oblique Mp' parallèle à Wm', on a Mp'^= B'm'. De sorte que l'équallon (ij devient

fl.M^ -i-ê,M//----Ji c'est-à-dire que :

Si l'on demande le lieu d'un point M tel gîte les obliques Mp, yi'^' abaissées de ce point sur deux axes Jixes, sous des angles donnés, aient entre elles la relation du premier degré

le liou de ce point est une ligne droite.

On peut encore conclure de là l'équation de la Géométrie analytique, déduite plus directement du théorème précédent.

43S. Au lieu de l'équation (a) pour exprimer la division liomograpbique des deux droites EA, Ë'B' [fig. 97), on peut prendre l'équation

[c] Am.B'w' + l.km -|- p. B'm' ^- v r.^ o ( 137),

pourvu que l'on détermine l'un des trois coefficients X, /.r, v de manière que les points de rencontre de la base PP' par les deux axes EA, E'B' soient deux points homologues. L'équation qui exprime cette condition est

AE,B'E'-t-;.AE + ,(/.B'E' + v — o,

Ainsi l'équation générale d'une droite sera

Am.B'm' + i.Am -h u.B'm'= AE.B'E'-H X.AE -i- p.B'E',

Xm.h'ni'-^l.Em-h u.E «/'= AE.B'E',

les deux coefficients 7. et ij. étant arbitraires.

Appelons I le point de la première droite EA tjui correspond à l'infini de la seconde et J' le point de celle-ci qui correspond à l'infini de la première; on aura ) ^ — B'J', /j. = — Al(l-iO), et l'éciuation devient

Ain.Wm'— B'J'.Ew — AI. E' /;.■' = AE.B'F,'.

Uéctproquenient, une droite L étant donnée, celle équation pourra la représenter; les points A, B' y sont arbitraires, mais les deux points I, J' ne le sont pas : ils dépendent de la position de la droite. Pour déterminer le point I, on mène la droite P'G parallèle à la droite E'B' et qui rencontre la droite L en C; puis la droite PC qui marque sur EA le point I, Pareillement, pour déterminer le point,]' on mène, parallèlement à EA, la droite PD qui rencontre la droite L en D; la droite P'D rencontre la droite E'B' au point cKerché J'.

Si l'on place les deux points A et B' en I et J ' respectivemenl , l'équation se réduira à

Im.J'n/ = IE.J'E'.

136. Dans tous les théorèmes précédents on peut supposer que les deus droites EA, E'B' coïncident; les mêmes équations subsislent.

L'équation (c) peut pi'endre alors une Corme dllTérente, savoir

[,;) Am.B'o/+)..wft/-l-v = o (168).

Mais il faut observer que la constante v n'est pas arbitraire ; car, pour que l'éqtiation soit celle d'une droite, il faut que le point E, où l'axe EA (Jig- 98) rencontre la base PP', soit un point double, c'est-à-dire la réunion des deux points homologues E, E'. Celte condition s'exprime par la relation

AE.B'E + v = o.

Ainsi l'équation générale d'une droite sera

Am .B'm'+)..inm' = AE . B'E:

'2'jO TRAITÉ DE GÊOMETItlF. SUI

los points A el B' étant pris arbitrairement sur l'axe EA, cl X étant nn coefficient arbitraire.

Cette équation renferme trois éléments indéterminés, le point A, le point B et le coefficient X. Une droite étant donnée, on ne peut |irendre qu'un de ces éléments arbitrairement; les deux autres seront pris de manière que l'équation s'applique à cette droite parliciilière.

Corollaire. — Les deux points doubles des divisions homograpliiqnes marquées par les points jn, mf sur l'axe EA sont le point E l'I le point F, intersection de l'axe EA par la droite proposée. 11 s'ensuit que les deux poînls A et B' sont, de part et d'autre, à égale distance du point O, milieu de EF {168). On peut dore ])lacer le point A eu E cl le ]ioint B' cit F; alors l'équation de !a

^ II. — Équation entre des segments faits sur plusieurs a}:es par des rayons tournant autour de points fixes situés en ligne droite.

437, Le théorème (430), relatif aux segments faits sur deux axes lÎKCs, peut être généralisé el appliqué aux segments faits sur un nombre quelconque d'axes fixes, de la manière suivante ;

Si l'on a plusieurs axeX AE, BE', CE", ... et autant de pôles t', P', P", - . . placés en ligne droite, et que de chaque point M (/ une droite L on conduise des rayons à ces pôles, lesquels rencontrent respectivement les axes AE, BE', CE", ... en m, m', m", ...,onaura entre les segments que ces points font sur ces axes, à partir d'autant de points fixes A, B, C, ... pris arbitrairement et des points E, E', E", . . . , tous situés sur la droite PP'P", .... la relation constante

EQUATIONS UIXK DROITE. -igi

dans la<juelle ions les coefficients , moins deux, peuvent être pris arhitrairement.

C'est-à-dire que les deux cocl'ficieiits non déterminés pourront l'èlre de manière que l'équallon ah toujours lieu.

Nous allons démontrer que, si la proposition est vraie dans le cas de n axes AE, BE', . . . , elle l'est nécessairemeul pour (/; -|- i )

Supposons que les dctiv coefficients non déterminés soient a cl S. Faisons abstraction du premier axe AE; nous aurons un axe de moins, et, par h^-^jotJièse, la proposition sera vraie, de sorte que, les coefficients y. à, . . . étant donnés, on poun-a déterminer les deux £', v' de manière que l'on ait toujours l'équation

Mais, en no considérant que les deux axes AE c\ BIC', on petit déterminer deux cocfficienls a, 6" de manière que l'on ail toujours

ï relation

AjoiLlaul ces deux équations membre à membre, on a

Xm ,^, , ^„. It"/ Cm" " Em '*" * ' *" ■ ■ '^''l'ï' ~'~ '' YJ'm"

Celle équation, relative à [n -+- 1) axes, aura toujours lieu, puisqu'elle résulte de deux équations qui ellcs-mômes ont toujours iiou, et les coeflieienls de ses deux premiers termes, les seuls qui lie soient pas donnés, ont des valeurs déterminées.

Supposons mainlenant que les deux coefficients non déterminés soient a et v. On fera encore abstraction du premier axe AE, .■i l'on déterminera deux cO-cfficients S' et v' de manière que l'on ait

hm' ^ C^ . ,

ce qu'on peut faire par hypothèse; puis, en considérant les deu^ ii\cs AE, BE', on déterminera deux coefficients «, u"tels,que

yGoosle

E gi:omi::trie s

Ajoutant CCS Jei

équation dans laquelle les deux coefficienl^ « et (w'-H v"), les seuls qui ne soient pas donnés, ont des valeurs dcterminécs.

Ainsi, il esl démontré que, si le théorème a lieu. pour n axes, il aura lieu pour [n-h i)- Mais il est vrai pour deux; donc aussi pour trois, pour quatre, etc.

(Jhseryation. — - Dans le cas de deux axes on ne peut pas faire en général la constante v égale à zéro, mais on le pourra toujours dans le cas où l'on a plus de deux axes.

■438. Nous venons de prouver que, ayant pris arLJLrairement ie^ coefficients a, S, ..., v, moins deux, on peut déterminer ceux-ci de manière que l'équation ait lieu pour tous les points d'une droite donnée L, Or, deux points quelconques de ta droite peuventservir pour déterminer ces deux coefficients. En efTet, ces deux poinls donneront lieu à deux équations, telles que

et ces équations, dans lesquelles les segments An^|, Am^, ...

sont connus, servent à déterminer les deux coefficients inconnus.

11 suit de là que : Quand l'équation (e) a lieupow deux poinis

d'une droite, elle a lieu pour tous les autres points de cette

Ce qui conduit à ce théorème général, qu'on peut considérer comme la réciproque de la proposition (437) :

■439. niant donnés des axes AE, BE', CE", . . . terminés en E, E', E", .. . à une même droite et autant de pôles P, P', P", . . .

ÉQUATIONS d'une droite. 293

situés sur cette droite, si l'on demande le lieu d'un point M tel que les rayons conduits de ce point aux pôles P, P', P", . . . fassent, respectivement, sur les axes AR, BE', CE", - . ., des segments dont

, Am Bm' Cm" , / ■ j

les rapports ——t t:;— 7' v,^r-,; ' • • ■ itient entre eux la relation du

premier degré

dans laquelle a, S, y, . . ., v sont des coefficients constants pris arbitrairement, le lieu du point M sera une ligne droite.

En effet, supposons que l'on ait déterminé deux points M,, Mï satisfaisant à l'équation ; cette équation aura lieu pour tous les autres points de la droite qui joint les deux M,, Mj (iSS), ce qui démontre le théorème.

Nous verrons plus loin (■449) comment on pourra déterminer les points M(, Mn, . . , qui satisfont à l'équation.

•440. Ces tliéorèmcs relatifs à plusieurs axes donnent lieu aux mêmes corollaires que le théorème relatif à deux axeS. Ainsi nous dirons, en supposant tous les pôles P, P', ... à l'infini, que ;

Si de chaque point d'une droite on abaisse sur des axes fixes des obliques sous des angles donnés, les segments que ces obliques détermineront sur ces axes, à partir de points fixes A, B, . . . , auront entre eux une relation du premier degré

dans laquelle tous les coefficients a, c, . . ., v, moins deux, pourront être pris arbitrairement.

■441. On peut substituer aux segments faits sur les axes fixes les obliques abaissées parallèlement à ces axes sur d'autres axes menés par les mêmes points fixes A, B, , . ., comme dans le cas de deux axes (-434); et l'on ace théorème :

■lUlTE VK GBOMETRIE SïiPEBIElJRl

Si rie chaque point d'une droite on abaisse sur des a:res fixdes obliques sous des angles donnés, ces obliques p, p', p", ... ar vont entre elles une i-clation du premier degré

dans laquelle fous les coefficients a, ê, . , . , w, inoins deux, peuvent être pris arbitrairement.

Et réciproquement ; Le lieu d'un point tel, que les obliques abaissées de ce point sur des axes fixes, sous des angles donnés, aient entre elles une relation du premier degré, e.st une ligne droite ( ').

4t2. Aux obliqufîs qui ont des ttircctions dilTérentes on prui en substituer d'autres avant toules la même direction, parce que celles-ci seront proportionnelles aux premières respectivement ; il s'ensuit que :

/itant dominées plusieurs droites AE, BE', CE" et une dernière iu, si l'on mène des transversales toutes parallèles entre elles. dont chacune rencontre ces droites en des points a, b, c, . . ., M, on aura entre les segments Ma, ]\I b , ... la relation du premier degré

«.Jl« + S.iMi + 7.Jlc+. . . -v,

dans laquelle tous les coefficients a. S, v, moins deux, peuvent.

être pris arbitrairement.

Et réciproquement.

Borème TaiBait partie Jea Lieux plniis d'Apollonius, ninsi qu'on lo ïoit doiis ■rns mathém/itîques de Pappiis, où il est énanré d'ubord pour le eus de eulement, puis pour un nombre quelconque d'aies, dans les tormes suïi a pitiicto quodaia ad positlones datas duos rectas liiieas paraltelas, -Bel tvenieiites, daco/ilnr récite llnete in dato aiigulo, -vel datam habenles provel qiiaïaiii unit si'mul cutn ta ad qiiarn aliern proportionern hahet datant, , Boittinget puaclam rectam liiieam posUione datam. Et si siiit quotcumqiip

ta linea et altéra diicta, lequale et, quod data et alla ducta, et reliqiiir

- Équation entre des segments faits sur un ou plusieurs rayons tournant autour de pâles fixes quelconques.

443. Dans les lliéorèmes précédeiUs, l'équation d'une ligne droite a lieu entre les segments que les rayons menés de chaque point de celte droite à deux ou plusieurs pôles fixes font sur des axes fixes. Nous allons maintenant exprimer l'équation d'tun; droite en fonction de segments faits sur des rayons menés de chaque point de la droite à un ou plusieurs pôles fixes pris arljîtraîrenient.

Considérons le théorème général (437), d'après lequel tous les coefficients, moins deux, peuvent être pris arbitrairement.

Prenons sur les axes AE, BE', ... [fig. 99) des points fixes lî, R', ..., et remplaçons les coefficients o, S,... par ("i-"j7tÎ")' BR'

( Ç, ; — — ■ j ï ■ ■ ■ ; l'équation deviendn

c'est-à-dire que, si de ciiaque point M d'une droite L on mène li.s rayons MP, MF', . . . qui rencontrent respectivement les axes AV., BE', ... en m, m', . . . , on aura cette relation, dans laquelle tous les coefficients «,, £,, ..., moins deux, peuvent être pris arbitrairement, les points R, R', . . . ayant été pris eux-mêmes arbitrairement

et restant fixes sur les axes AE, BE',

Considérons les quatre droites menées du point P aux quatre points M, A, E, R, et coupons-les par une transversale issue du point M; soient M, a, e, p les points d'intersection : leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre points m, A, E, R, de sorte que le premier terme de l'équation peut être remplacé par

a, (—r; : -— )■ Si, pareillement, l'on mène par le point M une autre

transversale qui rencontre les droites P'B, P'E', P'R' en b, e', p', on pourra prendre pour le deuxième terme de l'équation l'exprès-

TRAITÉ

; DE CIÎI>MBT11[E SUPKHIEUHE

.ion ê,

-7U cl aljisl des aulres

donc

Ainsi, les segments qui étaient comptés sur les axes AE, lîE', . . . sont remplacés par des segments comptés sur des transversales menées arbitrairement par chaque point M de la droite L; et les axes AE, BE' n'entrent plus dans le théorème. A leur place, on

considère de nouvelles droites PA, P'B, , .,, PR, P'R', Les

points p, p', ... sont sur les droites fixes PR, P'R', ... ; mais on peut éliminer ces droites en considérant les points p, p', . . . comme des pôles fixes pris arbitrairement, par lesquels on fait passer toutes les transversales issues de chaque point M de la droite L. Enfin, de cette manière, les pôles primitifs P, P', ... disparaissent et se trouvent remplacés par les nouveaux pôles p, p', .... On a donc ce théorème général :

Etant données des droites A, B, C, . . , {fig- 100) et étant pris arbitrairement autant de pôles fixes p, p', p", . -- correspondants à ces droites, un à une respectivement, si par chaque point'M d' une droite L on mène des transversales passant par ces pôles p, p', p", . . ., et rencontrant respectivement les droites A, B, C, ... endos points a, b, c, ... et une autre droite fixe li en des points e, e', e", ..., on aura la relation constante

, -. laM ao\ JhU bf'\ , /cM eo" \

dans laquelle tous les coefiicients a , Ê, y, moins deux, peuvent

être pris arbitrairement.

m. Ce théorème général donne lieu à plusieurs corollaires ; car on peut supposer à l'infini soit la droite E, soit un ou plusieurs des points p, p', ... ou tous à la fois; et ces points peuvent se réunir

ËQD4TI0NS DUNE DROITE. 2g7

SI l'on suppose tous ces points à Tinfini, l'équalion [f) dcvieni

La droite sur laquelle sont comptés les deux segments Ma, Me reste parallèle à elle-même ; de sorte que ces deux segments sont proportionnels, respectivement, aux distances du point M aux deux droites A et E. Il en est de même de tous les autres segments. On a donc, en appelant p, p', p", ... et y les dislances de chaque point M de la droite L aux droites fixes A, B, C, . . . el E, la relation homogène

Donc ; Les distances do chai/ue point d'une droite à plusieurs axes fixes ont toujours entre elles une relation homogène du premier degré, dans laquelle tous les coefficients , moins deux, peuvent être pris arbitrairement.