Si la droite E est à l'infini, l'équation (/) devient
— est ég'al au rapport des perpendiculaires abaissées des points M
cl p sur la droite A, et de même des autres termes. Or les perpendiculaires abaissées des points p, p', ... sur les droites A, B, ... sont constantes, et l'on peut les faire entrer dans les coefficients de l'équation ; de sortequ'en appelant;», /;', ... les perpendiculaires abaissées de cliarpic point M sur les droites A, B, ... oit a la relation
dans laquelle tous les coerficlents, moins deux, peuvent être pris arbitrairement; c'est-à-dire que : Les perpendiculaires abaisséesde chaque point d'une droite L sur des axes fixes ont entre elles une relation du premier degré dans laquelle on peut prendre arbitrairement tous les coefficients moins deux; ce qui est le thcorèiiie (■iil), car on peut substituer aux perpendiculaires des obliques.
, ijans rt^quatio» (A),
bU = r.'M — ab
niant le second nicmhri:
ec qui exprime ce théorème :
Etant données des droites A, B, C, . . - et autant de pôles Jixes p , p', f>", . . . placés d'une manière quelcontjue, si de chaque point M d'une autre droite L on mène des rayons à ces pôles, lesquels rencontreront les droites A, B, C, ... en des points a, 1), c, . . . , on aura la relation constante
dans laquelle a, S,..., v, sont des constantes qui toutes, moins deuT, peuvent être prises arbitrairement.
447. Si loiis les points p, p', ---se confondent en un sciii, l'éqiialion (/t) devient
et l'équation (z)
ee qui prouve que :
Etant données plusieurs droites A, B, C,. .. et une dernière L, si autour d'un point Jixe p on fait tourner une transversale qui
EQUATIONS D UNE DROITS. agtj
rencontre ces droites en des points a, h, c, . . ., M, on aura les deux relations (k) et (]), daris chacune desquelles toutes les Constantes. moins deux, peuvent élre prises aj-hitraireinent,
iiS. Et réciproquement :
Etant données plusieurs droites h., B, (j, ..., si autour d'un point fixe p on fait tourner une transversale i/ui les rencontre en des points a, b, c, . . . , et qu'on prenne sur cette droite un point BI déterminé par l'une ou l'autre des deux équations {k) et (/), It^ lieu de ce point sera une ligne droite (' ).
449. Dans ce théorème on détermine immédiatement, soit par l'équation (/-), soit par la seconde (/), chaque point M situé sur une transversale issue du point p, et, comme on passe de l'équalion (c) du théorème (^SQ) à l'une ou à l'autre des équations [k) cl (/), dont les coefificients dépendent de ceux de l'équation (c), lu point p pouvant être pris arbitrairement, on voit qu'on pourra se servir de l'une des équations (fr) et (/) pour déterminer les points JI qui satisfont à l'équation (c), et même pour déterminer en parliculier le point situé sur une droite donnée.
450. Observation. — Tous les théorèmes compris dans le deuxième et le troisième paragi'aphe de ce Chapitre, qui ont été (les conséquences immédiates de l'un ou de l'autre des deux théorèmes généraux (437) et (443), comportent la même généralité que ceux-là; car on peut remonter de tous ces théorèmes aux deux (437) et (443) ; el, comme on passe aussi de l'un à l'autre de ces deux-là, nous pouvons dire que tous les théorèmes ont une égale généralité et qu'ils ne sont que des expressions différentes d'une même propriété relative à tons les points d'une ligne droite, \hces expressions, la plus simple est celle-ci : Les distances de chaque point d'une ligne droite à plusieurs axesjixes ont entre elles une relation du premier degré, soit homogène, soit coiii-
riiat /le Mathémadi,
E GÉOMÉTRIE SUI'ÉRIEIHE. — CHAPITRE \\l.
plète, dans laquelle tous les coefficients, moins deux, peuvent être pris arhitrairement.
Tous les théorèmes n'expriment rien de plus que celte simple proposition; mais il est intéressant de voir qu'au moyen de la notion du rapport anharmonique on les déduit tous d'une proposition élémentaire (129) et que l'on peut passer de l'un à l'autre.
