CHAPITRE XXII

EOIIAIIONS d'un POIM, ou HELAirONS OB SEGllHNTS SERVifiT A DÉIËBMINEII UNB IKFINITÈ DE DROITES ASSUJETTIES A PASSER TOUTES PAR UN MÊME POIKT. — CENTRE DE GRAVITÉ d'i!N SÏSTÈME DE POINTS. — CENTRE DES MOÏENNËS HARMONIQUES.

4-^1. Nous appelons èt/uation d'un point une équation entre certaines variables dont chaque système de valeurs détermine la position d'une droite de manière que toutes ces droites passent par nn même point. On peut dire que l'équation représente ce

g I. — Équation entre les segments qu'une droite tournant autour d'un point fait sur deux axes fixes.

iSâ. Si sur deux axes SA, SB (Jlg. loi), i/ui se coupent en S cf. .(«/■ lesquels A et B sont deux points fixes, on prend deux points variables m, m' liés entre eux par la relation

dans laijuelle a, S et v sont des coefficients constants, la droite mm' passera toujours par un même point p.

En effet, cette équation exprime la division liomograpliique des deux droites SA, SB (129), et dans cette division deux points homologues coïncident en S. Par conséquent, la droite mm' passe toujours par un même point j; (108).

On peut dire que l'équalion représente le point p ou qu'elle est l'équation de ce point, ou, en terme général, que c'est Véijualion d'un point.

Il est évident que, réciproquemenl, un point étant donné, on peHl, enatlribnanl à l'un des trois coefficients a, 6 el v une valcnr arbitraire, délcrminer les deux autres, de manière que l'éqnalion [a) représente ce point.

-153. Chacun des trois points S, A, B peut êlrc ù l'infini {129), ce ([ul donne lieu aux trois équations ;

3° a.Ai«-he.}im' = v.

Dans celte dernière, les deux axes SA, SB sont parallèles.

454. Quand la constante v est nulle, le point représenté pail'une ou l'autre de ces équations est toujours situé sur la droite Ali;

car alors l'équation générale se réduit à

cl cette équation exprime que, dans la division homogiapliique de. deux droites SA, SB, les points A et B sont deux points honiologues(120). Donc la droite AB est une des positions de la droilc mm', et par conséquent le point p se trouve sur cette droite.

45S. On peut encore prendre pour l'équation d'un point lYtiua- (ion générale

[/,] Aw.B/H'-t-),.A/f( -i-^.B/.i'-f-v = o,

pourvu que l'on détermine l'un des trois coefficients de nianiùrc ù exprimer que deux points homologues coïncident en S. La relation qui exprime celte condition est

AS.BH -+-1.AS+ u.BS + v = o.

■a, pour l'équalion générale d'un point. im -l-,r/,.Etm' = AS.BS -4-),. AS -h u.,ItS,

- u..Sw'=z=AS.BS,

LUS laquelle les coefficients eut, un point étant donné, ;s valeurs telles que l'équation représente ce polnU

t lÀ sont arbitraires. RéciprOqi pourra attribuer à ces coeffîcie

436. Quand les constantes 1, \i- sont nulles, Téquatioii s luit à

Aot.Bw'.-^AS.BS.

|>ai

iVinsî, toute droite t point lixe.

n' dél

née par cette relation pa

Et réciproquement ; Un point étant donné, on peut déterminer sur las deux axes SA., SB {Jtg- loa) Ut position des deux points A, M et une constante 1 de nuinière <jue l'équation du point soit

Rn effet, cette équation, qui exprime la division liomographîquc des deux asies AS, BS, fait voir que le point A correspond à l'inlini de la seconde droite et le point B à l'infini de la première. Donc, si par le point p on mène «ne parallèle à l'axe SA, elle déterminera sur le second axe le point B, et pareillement la parallèle pA au second axe détermine sur le premier le point A. Quant ;'i la constante )., elle est égale au rectangle SA. SB.

|< II. ^ Équation entre les segments faits par une droite tournant autour d'un point fixe sur plusieurs droites concourantes en un même point.

-157. Étant données plusieurs droites SA, SB, . . . passant toutes par un même point S (fig- io3} et sur lesquelles sont pris arbitrairement des points Jixes A, B, C, . . . , si autour d' un point p on fait tourner une transversale qui rencontre ces droites en des

E GliOMlJTIIIE SVl'ÉBIEURE. — CfLAPITRK \>

.... Oit aura la relation conslanle

«, S, . . . , M étant des coefjïcients constants qui tous, moins deux, peuvent être pris arbitrairement.

La démon s Ira lion est absolument la niCmc que pour le tiiéorème(«7).

4-38. Pour que l'équation (c) soit celle d'unpoint déterminé, il suffit (juelle soit satisfaite pour deux transversales issues de ce point.

En effet, pour que l'équallon soit celle d'un point donné, on peut prendre arbitrairement tous les coefficients moins deux; cl ceux-ci se détermineront par certaines relations dépendantes de !a position particulière du point. Or deux transversales passant par le point donnent deus équations de condition entre tous les coefficients, savoir

" Sn/, ' Siii'i ' * " ' '' "^ Sm^ S«i', "*" " ' "' ' '

et ces deux équations suffisent pour déterminer et déterminent nécessairement les deux coefficients inconnus-, de sorte que, quand elles sont satisfaites, l'équation (c) est celle du point donné, et par conséquent toute autre transversale menée par ce point satisfera aussi à l'équation.

459. Quand une droite mobile rencontre les axes SA, SB, se, ... en des points m, m', m", . . ■ entre lesquels a lieu la relation

km Bffl' Cm"

oii X, S, y, . . . , V sont des coefficients constants, cette droite passe toujours par un même point.

En effet, si l'on considère le point d'intersection de deux des droites qui donnent lieu à cette équation, il résulte de ce qui pré-

ÉQUATIO>"S I) lîN POINT. 30J

cède que l'équation aura lieu pour toute aulre droite menée par ce point ; mais elle ne peut pas avoir lieu pour une droite qui ne passerait pas par ce point, car cette droite rencontrerait celles qui passent par le point en des points par cliacun desquels on pourrait mener une infinité de droites satisfaisant à l'équation; d'où l'on conclut que toute droite quelconque satisferait à l'équation, ce qui n'est pas possible. Donc, etc.

Observation. — Ce théorème peut èlre considéré comme la réciproque de la proposition (-457) ; de sorte que les diverses propositions que nous déduirons de celle-ci admettront une pareille réciproque,

■460. Dans l'équation (c), le point S ou bien les points A, B, . . , peuvent être pris à l'infini, etl'équation subsiste comme si les segments infinis devenaient des constantes. Cela résulte de ce qui a lieu dans le cas de deux axes (453) ; mais il est très-facile de le démontrer directement. En effet, prenons surchacune des droites SA, SB, ... un point fixe, R sur la première, R' sur la seconde, etc. ; on pourra écrire l'équaliou sous la forme

car on considérera les quantités « — , S ^~, j ■ ■ ■ comme formant

les coefficients des différents termes. Ainsi : Les points A, R; B, R' ; , . , étant pris arbitrairement sur les droites SA, SB, . . . respectivement, on pourra prendre arbitrairement toutes les constantes a, S, ..., V, moins deux, et déterminer ces deux-ci da m-anière que cette équation ait Heu pour foutes les positions de la droite mm' m". . . tournant autour d'un point fixe donné.

Si le point S est à l'infini, les rapports — > ^ — ;i ■•■ sont égaux

à l'unité, el l'équation devient

ou simplement

Id] a.Am + e.l

yGoosle

Si ce sont les points A, B, . . . qu'on suppose à l'infini, les rsp-

Am 'Bm' , , ,, ■ , ,. . ■ > ,

ports —— ) 577T'*''Sonl égaux a 1 unité et ! équation prend la

forme

5i ni. — Relation constante entre les perpendiculaires abaissées de plusieurs points sur une droite qui tourne autour d'un point fixe. — Centre de gravité d'un système de points.

461. L'équation (c) donne lieu à des tKéorcmcs d'un énoncé différent, dans lesquels ce ne sont plus des segments faits sur des droites fixes qui servent à déterminer la position d'une droite mobile, mais bien les distances de cette droite à des points fixes.

En effet, le terme -^ — est égal au rapport des perpendiculaires

abaissées des doux points A, S sur la droite pni. Pareillement, le

terme -; — ; est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des

deux points B et S sur la même droite, et ainsi des autres. Soient donc p., p', p" , . . - et y les distances des points A, B, C, . . . , S à la droite jCni; l'équation deviendra

co qui exprime ce théorème :

Quand une droite tourne autour d'un point, ses distances à plusieurs autres points fixes quelconques ont entre elles une relation homogène du premier degré dont tous les coe^cients, moins deux, peuvent être pris à ■volonté.

Et réciproquement : Quand les distances d'une droite ■variable de position à plusieurs points fixes conservent entre elles une relation homogène du premier degré, cette droite passe toujours par un même point.

La détermination des signes dans ce théorème est évidente. Pour tous les points situés d'un même côté de la transversale les distances de ces points à cette droite seront positives, et pour tous

les points situés de l'autre côté les distances seront négatives; car chaque rapport tel que - a le mênie signe que le rapport correspondant -^— ) et ce signe est + ou — selon que les deux

points Aet S sont du même côté du point m, et par conséquent de la transversale, ou de côtés différents. Donc, en donnant un signe arbitraire à la distance t/, on donnera aux dislances p, p', ... des signes semblables ou contraires, suivant que les points A, B, ... seront du même côté de la transversale que le point S ou de l'autre côté.

402. Étant donnés des points A, B, C, . . . et des constantes a, ë. y, . . ., on peut mener une infinité de droites telles, que leurs distances à ces points, multipliées respectivement par les constantes, donnent des sommes nulles. En effet, si de ces points on

abaisse sur une même droite des perpendiculaires dont les pieds seront a, b, c, . . . , il suffira de prendre sur cette droite le point p, déterminé par l'équation

-e.bo,

-7.cp,-

et de mener par le point p, une parallèle aux perpendiculaires; celte parallèle satisfera à la question, c'est-à-dire qu'en appelant/:), p', ... ses distances aux points A, B, .. ., en aura

Or, d'après le théorème précédent, toutes les droites ainsi déterminées passent par un même point p. On peut donc dire que ;

Etant donnés des points quelconques A, B, C, . . . et des coefficients a, 6, y, ... , (7 existe toujours un certain point p tel, que, si l'on mène par ce point une droite quelconque, ta somme de ses distances aux points A, B, ... multipliées respectivement par les constantes a, ë, . .. sera toujours nulle.

Lepointp est ce qu'on appelle le centre de grafité des poinls A, B, C, . . ., supposés matériels et a;yant pour masses respectivement les constantes a, S, y, ....

i63. Quand les points A, B, C, . . . sont en ligne droite, leur centre de gravité est évidcmnienl le point p de celte droite, déterminé par l'équation

H.Ap 4- S.\if-{- . . . r^û;

car les distances p, p', . . . des points A, B, ... à une droite quelconque menée par le point p seront proportionnelles aux segments Ap, Bp, ... et auront, par conséquent, entre elles la relation

qui caractérise te centre de gravité.

464. Considérons un système de points quelconques A, B, C, . .. et leur centre de gravité p; concevons qu'on les projette tous sur une droite par des obliques parallèles entre elles, et soient a, b, c, ..., pi leurs projections. Les segments «p,, bp,, ... seront proportionnels aux dislances des points A, B, C, ... à l'oblique menée par le point p ; on aura donc la relation

Or cette équation exprime que le point p, est le centre de gi-avité des points a, b, . . ., supposés doués des masses a, 6, . . ., Donc : Si l'on projette sur une droite quelconque des points matériels A, ]i, C, . . . et leur centre de gravité, la projection de ce dernier point sera le centre de gravité des points en projection.

■465. D'après cela, pour déterminer le centre de gravité d'un système de points A, B, C, . . ., il suffît de projeter ces points sur deux droites et de prendre les centres de gravité des deux séries de points en projection; les deux points ainsi déterminés seront les projections du centre de gravité cherché.

Les deux projections peuvent aussi se faire sur une même droite par des obliques diÉférentes.

466. Qu'on mène une droite quelconque ne passant plus par le point p, et soient P, P', V", ... ses distances aux points A, E, C, .... et G sa dislance au point p; on aura /) =^ P — G,

|/ ~ P' — G, ... et i'équation

D'après cela, on peut dire que :

Le centre de gravité d' un système de points matériels est un point dont la distance à une droite quelconque, multipliée par la somme des masses de tous les points^ est égale à la somme des distances de ces points à la même droite, multipliées respectifement par les masses de ces points.

Quand tous les coefficients a, g, . . . sont égaux à rmiilé, on appelle 3e point p le centre des moyennes distances des points A, B, C, ..., parce que la distance de ce point à une droite quelconque est la valeur moyenne des distances de tous les points à cette droite; c'est-à-dire que l'on a

n étant le nombre des points A, B, ....

Quand la droite passe par le centre des moyennes dislances, la somme de ses distances à tous les points est nulle.

§ IV. — Centre des moyennes harmoniques d'un système de points.

467. Reprenonsl'équation [c') (460); supposons que les points R, R', . .. [fig- io4)i i^ui sont arbitraires, soient pris tons sur une même droite L, et par le point O, oii la droite qui tourne autour

ipoi

ni fixe rencontre celte droite L, menons d'autres droites

aux points A, B, . .., S; puis concevons une transversale qui coupe ces droites en des points a, b, . . ., s,\a droite mm' en un point p.

et la ciroile L en /■

B w' . BR' /^ . &^

de sorte que l'équation (c') devient

Or les droites SA, SB, . . . n'entrent plus que par leurs points fixes A, B, ... dans la manière de former cette équation; ce sont les droites issues d'un même point O variable sur la droite fixe L qui, en tournant autour des points A, B, ..., S etp, déterminent sur la transversale menée arbitrairement les points «, h, . . .,setp,. L'équation exprime donc ce théorème :

Étant donnés plusieurs points fixes A,Ji,..., p et une droite L, si de chaque point de cette droite on conduit des rajons à ces points, et qu'on mène une transversale qui rencontre ces rajons en des points a, h,.. ., pi et la droite L en un point r, il existera entre les segments Jormés parles points a, b,..., à partir de l'un d'eux p^ et du point r, la relation

dans laquelle toutes les constantes, moins deux, peuvent être prises arbitrairement.

Et toutes ces constantes, y compris ces deux-là, resteront les mêmes quelle que soit la transversale.