Réciproquement

Etant donnés des points A, B, C, . . ., des constantes a, 6, y, . . . et une droite L, si par chaque point O de cette droite on conduit à ces points les rajons OA, OB, OC, . . , qui rencontreront ime transversale en des points a, b, c, . . . , et qu'on prenne sur cette

ÉQUAnONS D VN POINT.

fisfersale le point p, déterminé par l'équation

dans laquelle r est le point de rencontre de la transversale et de ladroite L, la droite Op^ passera toujours par un point Jixe.

Et ce point sera le même quelle que soit la position de la transversale.

Le point pi déterminé sur la transversale par l'équation [h) a été appelé par M. Poncclct le centre des moyennes harmoniques des points a, h, ... relatif au point r, et le point p par lequel passent toutes les droites Opi \e centre des moyennes harmoniques des points A, B, C, . . . relatif à la droite L ( ' ).

■469. D'après ces définitions, le théorème exprime que :

Etant donné un système de points A, B, ... et leur centre des moyennes harmoniques p relatif à une droite L, si d'un point de cette droite on mène des rayons à tous ces points, et que l'on tire une transversale qui rencontre ces rayons en des points a, L,., .,pi etla droiteh en unpointv, lepointp, sera le centre des moyennes harmoniques des points a, b, ... relatif au point r.

■470. L'équation [h), qui détermine le centre des moyennes harmoniques p, des points a, b,. .. par rapport au point /■, se met sous une autre forme. Qu'on y fasse

elle devient

(') Voir le Mémoire iiir les centres des vioyennes karmoniq. Journal de Mathématiques de M. Crelle, t. III ; année 1828).

3ia TRAITE DE GÉOMÉTRIE SUFÊBIEUBE. — CHAPITRE XXII.

Quand tous les coefficients a, 6, ... sont égaux à l'unité, ]e segment /'p, est ce que Maclaurin a appelé la moyenne harnioni<jue entre les distances ra, rb, . . . (66).

Il est à remarquer que l'équation [k] peut se mettre sous la forme

a. pointquclconqiie pris sur la même droite queles points a

En effet, si l'on divise les deux membres par ~-^j l'équation ne

contiendra que des rapports anharmoniques, el par conséquent elle aura lieu pour toute position du point i si elle a lieu pour une seule. Or, quand le point j est à l'infini, l'cqualion redevient l'équation {h). Donc elle a lieu quel que soit le point i.

■471. Si le point r de l'équation [h) est à l'infini, le pointp) devient le centre de gravité des points a, h, . . . , supposes matériels et ayant pour niasses les coefficients a, S, ..., car l'équation s'écrit

o, parce que les rapports —■> — j ■■ ■ sont égaux à l'u

ce qui exprime que le point ^O) est le centre de gravité des points «, è, c. . ., dont les masses seraient a, ë,y. . . . (AHA).

472. Quand la droite L est à l'infini, le centre des moyennes harmoniques des points A, B, , . , devient le centre de gravité de ces points, supposés doués de masses a, 6, . . . . Car toutes les droites menées d'un point O de la droite L à ces points sont parallèles entre elles, le point ;• sur une transversale est à l'infini et le point p, déterminé sur cette droite est le centre de gravité des points a, h,. . .; d'où il suit que le point p est le centre de gracile des points A, B, ....

473. D'après ces considérations, on pourrait croire que les propriétés du centre des mcryennes harmonit/ues d'un- système de points impliquent une notion plus générale que celle du centre de gravité. Mais cette plus grande généralité n'est qu'apparente et n'existe pas au fond. On peut le concevoir a priori, car les propriétés du centre de gravité et celles du centre des moyennes harmoniques d'un système de points sont, sous une forme diEFérente, des expressions générales d'un même théorème exprimé par l'équation [c, 457); elles n'expriment donc rien de plus ni moins que cette équation et rien de plus ni moins l'une que l'autre. Et, en effet, nous allons voir qu'on peut conclure les propriétés du centre des moyennes harmoniques de celles du centre de gravité.

Soient des points A, B, C, . . . {fig- io5) ; que p, p', . . . représentent leurs distances à une droite L et -, —, •■■, leurs masses,

P P et soient P, P', . . . les distances de ces mêmes points à une autre droite K menée par leur centre de gravité; on aura (4-62)

Soit 0 le point o

ù la droite K. rencontre la drc

Dite fixe L

sinKOA P' sin ROB

sinLOA' p' sin lob'

et l'équation devien

iiiiKO.V siiiKOB ___ sin LOA "^ sin LOB ~' ~ "'

Or, si l'on mène une transversale qui rencontre les droites OA, OB, ... en des points a, h, . . ., la droite OK en p, et la droite L en ;■, on peut substituer aux rapports de sinus qui entrent dans

l'équation les rapports de i l'équation devient

gments correspondants, de sorte que

3].| TUMTK l»E GKOHETBIE SUPERIEURE.

Cela est évident; car, si l'on divise tous les termes de l'équation

sinKOA , . Cl,

par le rapport ^ — :r- du premier terme, on forme dans tous les ^ '^'^ sinLOA '

autres des rapports anharmoniques de sinus auxquels on peut substituer les rapports anharmoniques des segments correspondants; d'où résulte l'équation que nous venons de poser.

Or cette équation exprime le théorème (468) sur le centre des moyennes harmoniques, de sorte qu'on peut dire que ; Le point appelé centre des mojennes harmoniques d'un système de points matériels A, B, C, . . - , relatif à une droite L, est le centre de gravité de ces mêmes points, qui auraient d'autres masses égales respectivement aux premières divisées par les distances des points à la droite L,

Alà. Observation. — Les divers théorèmes contenus dans les trois paragraphes II, III et IV de ce Chapitre pouvant tous se déduire les uns des autres, d'une manière facile et directe, au moyen du rapport anharmonique qui forme leur lien commun, on peut les considérer comme exprimant tous, sous des énoncés différents, une même propriété relative à un système de droites passant par un même point. L'expression la plus simple de cette propriété est la suivante :

Quand une droite tourne autour d'un point, ses distances p, p', ... à plusieurs points fixes quelconques ont entre elles une relation homogène du premier degré

dont tous les coefficients, moins deux, peuvent être pris arbitrairement.

Et réciproquement, quand plusieurs droites satisfont à cette relation constante, elles passent toutes par un même point.

SYSTEMES DE COORDONNEES.