CHAPITRE XXIII

SÏSTÈitlES DE COOBDONNfiES SERVANT À RHPBÉSENTEB PAR UNE ÉQUATION TOUS LES POINTS d'uNE COURBE.

4.7s. Nous avons vu (430) qu'étant donnés dens ases AC, BD {fig. 106) et deux points fixes P, Q situés sur la droite AB, si aiilour de ces deux points on fait tourner deux rayons dont ie point de concours m décrive une ligne droite, les segments que ces deux rayons feront respectivement sur les deux axes AC, BD auront entre eux la relation constante

Et réciproquement.

De sorte qu'une telle relation forme Vétjuaiion d'une ligne droite dont chaque point se trouve déterminé par les deux rapports — T-' -r^' Ces rapports peuvent s'appeler les coordonnées du

point m, abscisse et ordonnée; et, en les représentant par deux simples lettres x, y, on dira que Vétjiiation du premier degré

est. celle d'une ligne droite.

■476. Il s'ensuit qu'une équation du degré m entre les deux mêmes coordonnées représentera une courLc jouissant de la propriété d'être coupée, par une droite queleonquc, en m points réels ou imaginaires; ce qu'on appelle nus courbe géométrique du degré ou de l'ordre m.

Car cette équation étant

les ordonnées des points d'intersection de la courbe par la droite (i') seront les racines de l'équation

laquelle est du degré m.

Ainsi, dans ce système de coordonnées, comme dans le système en usage, toute courbe géométrique de l'ordre m est représentée par une équation du degré m.

-477. On peut, comme nous l'avons vu (431), faire diverses hypothèses sur la position des axes AC, BD et celle des deux points fixes C, D, qu'on peut placer à l'infini. Les deux pôles P, Q peuvent aussi être à l'infini, auquel cas les deux points A, B s'y trouvent eux-mêmes. Dans tous les cas, ceux des segments ka, . . . dont les origines sont à l'infini disparaissent de l'équation, comme s'ils étaient devenus égaux à l'unité. Nous avons donné [431 ) les équalîons qui résultent de ces diverses hypothèses; nous n'y reviendrons pas ici. Nous examinerons en particulier un seul des sjslèines de coordonnées qui répondent aux positions difFérenles des axes et des pôles, celui qui a le plus d'analogie avec le système en usage dans la Géométrie analytique.

478. Prenons pour les pôles P et Q [fig- 107) les deux points B et A respectivement, et pour les points C et D le point de concours S des deux axes; les deux coordonnées x, y d'un point m.

seront les rapports —, — que les deux rayons Bm et A m forment

sur les deux axes SA, SB.

Si l'on suppose les deux points A et B à l'infini, ce système de coordonnées deviendra précisément celui de la Géométrie analy-

œoRPOMNÉES d'un puent. 3i7

tique, imaginé par Descartes, puisque les deu)t segmenLs infinis «A, Z>B disparaîtront de l'équation, comme nous l'avons vu précédemment (433).

Considérons le cas général où les deux points A et B sont à distance finie.

i" Le rapport des coordonnées a un pomt - ou — : — c.-it

égal au rapport — des segments que la droite menée de ce point à l'origine S fait sur la base AB, ce rapport étant pris avec le signe — ;

En elTet, on a dans le triangle ASB

</S èE c^ __ 7^~bV, ^ " ~ ' ' d'où

rB rtS /'S __^

■2° La somme des deux coordonnées d'un point m est égale — ;; car on a, dans le quadrilatère aSbni,

3*" Les coordonnées de cliaque point de la base AB sont infinies ; car pour ces points on a «A = o, èB:=o, et par conséquent

X = — = - =;^ et de même ■)==:a .

'i79. Troiwer Ici pulnts oit la droite représentée par l'é<puL-.

rencontre les axes SA, SB et lu base AB [fig. io8).

3lS TRAITÉ DE GÉOUÉTRIE SUPÉRIEURE.

Les deux coordonnées x, y d'un point m sont les deux rapports ~X' 7^" ^^ ^^ point coïncide avec le pointa, où la droite proposée rencontre l'axe SA, le point h coïncide avec S, et l'on ar— - — ^ ^o; iJ s ensuit ,T. --= — -- [1..

Pour le point S sur l'axe SB, on ^ x^= o etj=— ;zzV'

Le point 7, où la droite perce la base AB, se détermine par la relation qui a lieu dans le triangle ASB coupé par la droite aS,

-/A __ aA es '/A 1

Ainsi, on peut dire que, dans l'équation d'une droite

les deux paramètres [i. et X déterminent respectivement les points où la droite renconire l'axe des x et la base ; et leur rapport, le point où la droite rencontre l'axe des y.

Il est clair que, réciproquement, deux des trois points où une droite rencontre les deux axes SA, SB et la base AB font connaître immédiatement les deux coefficients de l'équation de la droite.

■480. Discussion de l'équation (i). — Au moyen des expressions géométriques des deux coefficients ), et (x que nous venons de donner, on discute, sans difficulté, les différents cas que peut présenter l'équation de la droite. Voici le résultat de cette discussion :

droite passant par l'origine S.

droite passant par le pôle B.

droite passant par le pôle A.

COORDONi^EES O tX POINT.

droite parallèle à la base AB.

droite parallèle à l'axe des x ou SA.

droite parallèle à l'axe desj'.

droite située à l'infini.

Car, pour chaque point m de la droite représentée par l'équation X -\-j =^ I , on a —'- ^3 1 (478, 2°) ; ce qui prouve que le point

m est à l'infini.

On peut encore dire que, d'après 4°, 5° et 6", la droite est parallèle tout à la fois aux deux axes SA, SB et à la Lase ; ce qui ne peut avoir lieu que si elle est à l'infini.

■481 . Trouver les points où une courbe représentée par une équation F(x, 7) = o rencontre les axes et la base.

On détermine les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe SA, en faisant jx = o dans l'équation ; et de même les ordonnées des points où elle rencontre l'axe SB, en faisant x = o.

Quant aux points où la coiirbe rencontre la base AB, une difficulté semble se présenter, car pour chacun de ces points les deux coordonnées sont infinies (■iTS, 3"); mais leur rapport va suffire pour déterminer chaque point. En effet, le rapport des àeu^ coordonnées d'un point m est égal à (478, 1°). Quand les deux

coordonnées sont infiniment grandes, le point approche indéfiniment de la base et le rapport des deux coordonnées exprime toujours le rapport ; à la limite, le point m se trouve sur la base

même, coïncidant avec le point c; donc le rapport des deux coor-

TRAITE DE GEOUETBIB SUPERIEUHE. ~- CHAPITHE XXlll.

s infinies exprime le rapport r qui détermine ce point c.

Il faut donc trouver dans l'équation F(a:,j)') ^^=0 les valeurs du rapport - quand x et j- sont supposés infinis.

Prenons une courbe géométrique du degré /n, et soit

Ax'" + (<ï + bj].T'"-^ -L . . . -i-- E/'" -l- F = o, son cqualion. Écrivons, en divisant par j-'",

Faisons y infini; l'équation se réduit à

C'est cette équation qui donnera les valeurs du rapport - iiu

T-i lesquelles dclerminent les points d'intersection de la courbe

et de la base AB.

482. Remarquons que dans celle équation le terme constant F de l'équation de la courbe n'entre pas. Il s'ensuit que deux équations qui ne diffèrent que par le terme constant représentent deux courbes qui coupent la base AB dans les mêmes points. Dans le système de coordonnées en usage, les deux équations représentent deux courbes homothétiijues (c'est-à-dire semblables et semblablement placées), et, comme ce système diffère de celui dont il est ici question en ce que la base Alî y est à i'infinî, on en conclut que :

Deux courbes homoihéiiques $ont Jeux courbes qui ont les mêmes points, réels ou imaginaires, à l'injini.

Cela se vérifie du reste tout naturellement en chcrcliant les directions des asymptotes (réelles ou imaginaires) des deux courbes.