Proposons-nous de deraonti-ei' ce théorème

Quand une courbe géométrique de Voidie m J'en iaiigle kSËeii des points a, a',. .. wr AS, h, h', . .

contre les calés d' . sar SE cl c, c', .

•r BA, on a la relation

aka'k hS />'S rît c'U ''' aS a'S'" 6E />'b" ' cA cA" '

les points pouvant être réels ou imaginaires, eu totalité ou en partie, sui chacun des côtés du triangle.

En effet, soit

A ./.■"' -^[a-i-hj] ^"'-' H- . . . -T- Ej'" + F =: o

l'équation de la courbe, rapportée aux deux ases SA, Sli comme i)récédemment (4SI).

On détermine les abscisses des points a, a', . . ., c'est-à-dire les rapports

— ,— — ,..., en faisant j^ o dans l'équation de la courbe. L'équation

devient

et par conséquent on a

«S fl^ -i-^ «A a'A'"^ ^ &'

Pareillement, en faisant 3:r=o dans l'équation de k courbe, on trouve, poiu' le produit des ordonnées des poinis b, b' , . . . où la courbe rencontre

fiOOEIlONNKES I

Mais, d'après l'équation qui donne les rapports '- points de la courbe situés snr la base AB ( iSl}, c

De ces expressions des trois produits de rapports r qu'il s'agissait de démontrer.

conclut l'équation

487. CoROLLAiEEs. — On peut donner au théorème une autre expression et dire que : Si pai deux points fixes A, Bon mène deux dmites quelconques se coupant en un point S et rencontrant la courbe en deux séries de pointa a, a', ... et\},\i' , ■ ■ -1 on aura la relation

«A ii'k

quelle qui

net, pour la constante I qni reste constant

soit ta direction des deux droites.

Car cette e'quation devient 1 équation [ « ] si l'o qui forme le second membre, le produit — -7d'après l'hypothèse.

488. Dans ce théorème, on peut supposer que le point S ou bien l'un des deux points A, B, ou tous les deux à la fois, soient à l'infini, et l'équation subsistera, comme si les segments inlinis étaient devenus égaux à l'unité. En effet, dans le premier cas, où le point S est à l'infini, les rapports, tels que v^j de deux segments inlinis comptés sur deux droites parallèles à partir de deux |>oints déterminés sont égaux à l'unité; ainsi les segments infinis disparaissent et l'équation devient

C'est-à-dire que :

Si par deux points fixes A, B pris dans le plan d'une courbe géométrique on mène deux transversales parnllèles entre elles, les produits des seg-

ments [réels oa imaginaires) compris sur ces divùces i^ntrc la courbe et les deux points AeC B respeetivemeiic, seront entre eux dans un rapport constant, quelle que soit la direction commune des deux transversales.

489. Si c'est le point B que l'on suppose à l'infini, les segments bB, ... formeront avec cB, . . ., qui se trouvent dans l'expression de la constante qui conslitiie le second membre, des i-apports égaux à l'unité, de sorle que l'équation deviendra

[d] ^^...XèS.i'S....-.const.

490. Pareillement, si le point A passe à l'infini, cette cqualion devient

ce qui exprime que :

Si par un point S on mène dans le plan d'une courbe géométrique deux transversales parallèles à deux axes fixes, les produits des segments (réels ou imaginaires] /ormes sur ces deux droites entre le point S et la courbe oui un rapport constant, quelque soit le point S.

491. Observaiioii, — Cette propriété des courbes géome'triques se présente si naturellement dans la Géométrie analytique, qu'on pourrait en faire remonter la connaissance au moment où Bescartes a mis au jour son immortel Ouvrage. Toutefois, on la désigne assez souvent sous le nom de théorème de Netvton, parce qu'on la trouve dans l'Ouvrage intitulé Énumération des courbes du troisième ordre [De ratione contentorum sub parailelarum segmentis).

Le théorème général lel 1 1 aux. eg ent f s s le t e 1

triangle est dû à Carnot qui 1 a don e d ns L on e e le jo o (p. 291 et 436).

On peut le conclure très fac len ent du beoren e de Nevrton En effet que l'on mène par un pu t 0 t o s dro tes j aiill les a. t ois c t s lu trLingle, les produits des aegmen f ts p r la ourbe sur ces trois d 01 es k partir du point 0 auront de x. deux de raj jh rts ga t & ■>! | orts des segments faits sur les trois côtes du triangle. II résulte de là trois égalités qui, multipliées membre à membre, produisent l'équation de Carnot.

Le théorème s'applique à un polygone quelconque et se démonire soit en partant du cas du triangle, soit par le mode de démonstration même que nous venons d'indiquer pour le cas du triangle.

COOBDO^NKES n us POINT. 325