IV. — A'ilie application

492. TifÉOBiME. — Si autour d'an point fixe on fait tourner une transfersale qui rencontre une courbe de l'ordre n en n points [réels ou imaginaires] dont on prend le centre des moyeni)ex harmoniques H relatif au point fixe, le lieu de ce point M est une ligne droite.

Snit

l'équation de l;i courbe, rapportt'c à deux axes coordonnés SA, SB; lA prenons le sommet A pour le point fixe autour duquel tourne la transvei'saje.

Soit y' l'ordonnée du point où cette dixiite, dans l'une de ses positions, rencontre l'axe SB; l'équation de la droite sera y ^r.y' , et les abscisses des points ra, m', ... où elle rencontre la courbe seront données par l'équation

Or la droite menée du point B au centre des moyennes harmonu|ueR des points m, m',. . ., relatif à l'origine A, passe par le centre des moyennes harmoniques des points a, a', ... (469), lequel se détermine par la re-

On a donc

j\l, A il A a &.

M, S L, en appelant x' le rapport ~— -

C'est une relation entre les deux coordonnées x' , y' du point Bl, centre des moyennes harmoniques des points d'intersection de la courbe par la transversale. Cette relation du premier degré est l'équation d'une ligne droite. Donc le lieu du point M est une ligiie droite. c. q. t. p.

32(j TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEUBE, — CHAPITRE XJtlII.

493. CoKOr.LAiRE. — Kous avons vu que, cjuand l'origine par rapport à laquelle on prend le centre des moyennes harmoniques d'un système de points est à Tinlini, ce point devient le centre des moyennes distances du système de points (471). Par conséquent, si le point A, autour duquel on a fait tourner la transversale, est à l'infini, on a ce théorème :

Si dans le plan d'une courbe géométrique on mène une série tic iraïuversales parallèles entre elles, et qu'on prenne sur chacune lecentre des moyennes distances des points où elle rencontre la courbe, le lieu de ce point est umligne droite.

On a appelé cette droite le diamètre conjugue à la direction des transversales.

Cette propriété des courbes géométriques est due à Newton et se trouve dans X'Enumèiation des courbes da troisième ordre I^De ctiivarum diametris, etc.) ; celle relative aux centres des moyennes harmoniques est due à Cotes et a. été démontrée par Maclaurin dans son Traité des propriété!^ des courbes géométriques (§ 27, ïhéor. IV), cité précédemment, p. ^i-