CHAPITRE XXIV

SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A ItEPRÉSENTEIt PAR UNE ÉQUATION TOUTKS LES TAHGENTES d'une COUHBE.

-494. Nous avons vu (-iSS) qu'en déterminant la position d'une droite par les rapports de segments qu'elle fait sur deux axes fixes SA, SB {fig. 109), s'il existe entre ces rapports la relation du premier degré

la droite, dans toutes ses positions, passe toujours par un même point; et nous avons appelé cette relation Véi/uation de ce point.

On peut dire que les deux rapports — ^ et y^ sont les coordonnées

de la droite, abscisse et ordonnée. Nous les représenterons, pour abréger, par x et^. Ainsi l'équation d'un point sera

■495. Une équation ¥[x,y)--=:o représentera une infinité de droites dont chacune sera déterminée par un système de valeurs de ^ el y satisfaisant à l'équation, de sorte qu'on pourra dire que l'équation est celle de la courbe enveloppe de toutes ces droites.

Si l'équation est algébrique et du degré m, la courbe qu'elle représente jouira de la propriété que par un point quelconque on pourra lui mener m tangentes, réelles ou imaginaires.

En efTet, on détermine les tangentes qui passent par le point dont l'équation est x -)- Xy = fi en remplaçant X par jj. — "ky dans

3ï8 TRAHI! DE GEOMETRIE SUPERIEITRE. — CHAPITRE XXIV.

l'équation proposée, laquelle devient

Les m racines de cette équation sont les ordonnées des m tangentes cherchées. Donc la courbe admet m tangentes, réelles ou imaginaires, passant par un même point.

496. On peut, dans ce système de coordonnées, prendre le point S à l'infini {fig. i lo) ; alors les deux axes AS, BS sont parallèles, et les deux coordonnées d'une droite ab sont deux simples segments x ^^^ Pi.a,j ^:^'Qh, comme dans la Géométrie de Descartes, mais formés différemment.

On peut aussi, en conservant le point S à distance finie {fig- 109}, supposer les deux points A, B à l'infini; on a alors

x=:— ij-=^) c'est-à-dire que les deux coordonnées d'une

droite ab sont les valeurs inverses des deux segments que cette droite fait sur deux axes fixes à partir de leur point de rencontre. Considérons le cas général d'un triangle ABS,

497. IStant donnée V équation d' un point, déterminer les droites (jui vont de ce point aux trois sommets du triangle A&Q [f'g- ' i ')■

L'équation d'un point m est

, oA éB , , .

X ety représentent les rapports -— 3 — qu une droite quelconque,

menée par le point m, forme sur les deux axes SA, SB. Pour déterminer le point a où la droite h m rencontre l'axe SA, il faut

laire r ^= o, c esi-a-rlire -.-- :^^ o ; on a

Pareillement, fai

IIOOBDONNKES d'uNE DIlOrFË. SîQ

On détermine le point 7 où la droite S/w rencontre la base AB parla relation

'/A. «A gS (/.

yâ ~ " "^ SB~ ~ '^ ' i ~ ^ ■

Ainsi, dans l'équation d'un point

les deux paramètres À et ft déterminent respectivement les deux droites menées de ce point à l'origine S et au point B ; et leur rapport ~ détermine la droite menée du même point an point A.