II. — Autres Expressions des coordonnées d 'une droite

504. L'équation (i), qui représente un point, exprime que la droite mobile ab [fig- 1 13 ) fait sur les deux axes SA, SB deux divisions homographiques qui ont deux points homologues coïncidents en S. Or on exprime encore l'homographie des deux divisions par l'équation

On peut donc prendre cette relation pour l'équation d'un point, et

, , , sinoBA sintAB , ,

regarder les deux rapports -; — — -, ■ - comme les coordonnées

SOPERIBORE. — GEIAPITRE XXLV.

de la droite ah. En représentant ces deux rapports par x et y, l'équation d'un point sera

et celle d'une courbe de ;h'*"" classe,

Xx'"-^ [a + /,j).r"'->-H. . .+ Ej"' + F= o.

503. L'équation (i) donne lieu encore à une autre interprétation. Le rapport — - est égal à celui des perpendiculaires abaissées des points A et S sur la droite ah ; et de même dn rapport — ■

Soient donc p, p' et f/ les distances de la droite ah aux trois points A., B, S, on aura la relation

C'est-à-dire que l'on peut prendre pour Véquation d'un point une relation homogène du premier degré entre trois variables représentant les distances d'une même droite à trois points fixes. Cotte droite passera toujours par un même point qui sera le point représenté par l'équation homogène.

Les deux rapports — i — peuvent être considérés comme les coordonnées de la droite ah, puisqu'ils déterminent la position de cette droite.

On conclut de là que, en général, une équation homogène du degré m entre les distances d'une droite à trois points fixes représentera une courbe géométrique de la m'^"" classe, c'est-à-dire une courbe à laquelle on pourra mener par un même point/» tangentes, réelles ou imaginaires.

ni. — Applications du système de coordonnées .

506. THéoKÉMB. — Si l'on conçoit toutes les tangentes, réelles ou imaginaires, menées à une courbe géométrique, par un point pris sur une droite fixe h, le centre des moyennes harmoniques de leurs points de contact,

relatif à la droite'h (168), sera un point fi.i:e, de quelque point de lu droite L qu'on ait mené les tangentes.

réi]uation de la courbe rapportée, comme précédemment [495), à deux axes SA, SB, et supposons que la droite L coïncide avec SB. Les tangentes menées par un point O de cet axe, dont l'ordonnée est j', rencontreront

l'ase SA en des points a, a' , . . . dont les abscisses — ^i ■ - • seront données

par l'équation de la courbe, dans laquelle ou mettra j' à la place dej . L'équation devient

Soit pi îc centre des moyennes harmoniques des points n, a' , tu point S, lequel sera déterminé par l'équation

Nous avons vu (468) que la droite Opi passe par le centre des moyennes harmoniques d'un système de points pris sur les droites O a, Oa' , , ,,, lesquelles sont les tangentes à la courbe ; par conséquent, cette droite passe par le centre des moyennes harmoniques des points de contact de ces tan-

Eeprésentons par j:' le rapport— -!—» l'équation précédente devient

équation du premier degré entre a:' et y, et, par conséquent, équation d'un point. C'est-à-dire que la droite Ofj, dont j;' ely' sont les coordonnées, passe toujours par un même poiat fixe. Je dis que ce point est ]c centre des

334 TRAITE DE GÉOMÉTBIE SUPÉRltURE — riHPLmt X\1V

moyennes harmoniques des points dt contact du fiisceau de tangentes issues de chaque point 0 de la dioitc SB, En effet, t,i l'on conçoit deux faisceaux de tangentes issues de deux pomts O, 0', chaque tangpnte du second faisceau pourra être considéiee comme étant la position qu'a prise une tangente du premier faisceau, quand on a fait glisset le point O en 0' ; de sorte que les tangentes des deux faisceaux se coiTespondront deux îi deux; si l'on prend les m points d'intersection des tangentes correspondantes, le point fixe pur lequel passent les deux droites Op,, O'p'j est le centre des moyennes harmoniques de ces m points (468)- Or, si le point O' est infiniment voisin de O, ces m points seront les points de contact des m tangentes issues du point 0. Donc le centre des moyennes harmoniques de ces m points de conbict reste un point fixe, quelle que soit la position dti point 0 sur l'axe SB. Le théorème est donc de'montré.

CoHOLLAïuE. — Qnand la droite L est à l'infini, le centre des moyennes harmoniques des points de contact des tangentes devient leur centre des moyennes distances (W2). On a donc cette propriété des courbes géométriques :

Si l'on mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes [réelles oit Imaginaires), parallèles à une même droite, leurs points de contact [réels ou imaginaires) auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune de toutes ces tangentes.

507. Pour donner un exemple de l'usage des rapports de sinus pris i)our coordonnées d'une droite (504.), démontronslapmpriéié suivante des courbes géométriques.

ÏHÉORÈMK. — Etant pris dans le plan d'une courbe géométrique un triangle dont les trois côtés sont A, B, C ; si par ses sommets on mène toutes les tangentes à la courbe [réelles ou imaginaii-es), et qu'on représente par B, «', ... les tangentes issues du sommet opposé au calé A; et par S, 6', ... '-ty, "/,... les groupes de tangentes issues des sommets opposés aux deur côtés B, C, on aura l'équation

d,l.,ll),.inl.'.B),..sin(e.C).sm[e.C).^..i.[y.A)..m(-/.A)...__^ .m(»,C),5mK,C)...!m(e,A).sm(6',A)...>m(,,B).sm(./,Ii)... - '

le signe étant -V ou — suivant que le nombre des tangentes [réelles ou imaginaires] menées d'un même point à la courbe est pair ou impair.

Prenons les deux côtés A, B pour les deux axes coordomtés, et des

■apports de .

COORDONNÉES d'une DROITE. 3

LIS pour coordonnées comme pvéce'demmcnt (SOS^). Soit ;rt-]ij]:c'"-'4-.. . 4- E j'" 4- cr"'-' -J- F = o

l'équation de la tourbe.

Les tangentes a, a\ . . . , issues du sommet du triangle opposé au côté A, i-encontrent ce c(ité en des points dont les abscisses sont données par l'équation de la courbe, dans laquelle on fait j = o,

A.r"'-+- .,.-hF=:o.

Le pi'oduit des abscisses est donc ± — ■

, F Pareillement, le produit des ordonnées est ± — ■

sin(7,Al ,, . ,

Les rapports — — J-^ — ^) ■ ■ • sont détermines p

et, pai- conséquent, leur produit est égal kdz~- Ces expressions dos trois produits donnent l'équation qu'il s'agit de démontrer.

508. Remarque. ~ Si l'on suppose que ^', j, dans l'équation de la courbe, représentent des rapports do segments, au lieu de rapports de sinus, la démonstration reste la même, et le théorème prend cet énoncé ;

Si des sommets d'un t/ianglc ABC on mène les tangentes ( réelles ou inia~ginaires ) à une courbe géoméirique, lesquelles rencontrent les côtés opposés PII det points a, a', . , ., b, b', ... et c, c', . . ., on a, entre les segments i/uc ces points font sur les eôtéi, la relatioa

aB.o'B.. . èC.È'C, . , cA.c'A. . , ,

ûC.rt'C, .. bA.b'A. .. cB.c'B. ., '

te signe du second membre étant -h ou ■ — , selon que le nombre des tangentes [réelles ou imaginaires] qu'on peut mener à la courbe, par un même point, est pair ou impair,

509. Obseeïation. — Quoique nous ayons exposé, dans ce Chapitre et dans le précédent, les systèmes de coordonnées qui servent ou ]>euvent servit' à déterminer par une équation tous les points ou toutes les tangentes