I. — Manières déformer deux figures liomologiques
528. Quand deux figures sont la perspective l'une de l'autre dans l'espace, telles que deux triangles ABC, abc, les droites qui joignent leurs points komologues concourent en un même point de l'espace, qui est la position de l'œil; et les droites homologues concourent en des points situés sur la droite d'intersection des plans des deus figures, qu'on appelle la ligne de terre. Si l'on l'ait tourner le plan de la seconde figure autour de cette ligne, les droites ab, bc, cd tournent autour de trois points fixes de celte ligne, et les droites A«, BÔ, Ce concourent toujours en un même point qui forme une nouvelle position de l'œil, de sorte que les deux figures sont toujours en perspective (378 ) ; et, si le plan de la seconde figure abc s'applique sur le plan de la première ABC, il n'y a plus perspective proprement dite, mais les droites Aa, B&, Ce concourent encore en un même point, parce que les droites AB, BC, CA rencontrent respectivement leurs homologues ab, bc, ca en des points situés en ligne droite (37S).
Ces figures, dont les points homologues sont sur des droites concourantes en un même point et dont les lignes homologues se rencontrent sur une même base, sont celles que Poncelet a appelées figures liomologiques. Le point de concours est leur centre d'homologie, et la hase aÊ leur axe de concours ou d homologie (').
Toutefois, ce n'est pas précisément par cette considération du rabattement du plan d'une figure sur le plan de sa perspective que le célèbre auteur a formé des figures liomologiques : c'est d'une autre manière, également simple, savoir par la perspective sur un plan de deux figures semblables et semblablement placées, ou 7iomothétiques, contenues dans un autre plan. La perspective produit deux figures liomologiques dont le centre d'homologie est la perspective du centre de similitude des deux figures homothétlques et dont Vaxe de concours ou d'homologie est la perspec-
FlGrRES IIOMOLOGIQUES. 349
lîve de ia droite située à l'inÛDi dans le plan de ces deux figures. Gela est évident, et les propriétés des deux ligures homothétiques donnent lieu naturellement à celles des deux figures homolo-
giques ('}.
II. — Construction graphique d'une Jigiiie homolvgique h une figure donnée.
S29. Quand le centre et l'axe d'iiomologie sont donnés, il sufiit, pour construire la figure liomologique à une figure donnée, de connaître le point a qui correspond à un point donné A de la figure proposée; car le point h correspondant à un autre point quelconque B sera à- l'intersection de la droite SB et de la droite menée du point a au point 7 où la droite AB rencontre l'axe d'bomologie. Ainsi, étant donné le seul point a de la nouvelle figure, on déterminera, par de simples intersections de lignes droites, tous les autres points de la figure, La droite correspondant à «ne droite donnée se déterminera par deux de ses points, dont l'un pourra être celui où la droite donnée rencontre l'axe d'homologie.
Si l'on donne l'axe d'homologie avec les deux points a' , V de la seconde figure, qui doivent correspondre aux deux a, h de la première, on peut construire la seconde figure sans se servir du centre d'homologie, en déterminant chaque point m! correspondant à chaque point m par l'intersection de deux droites tournant autour des deux points a', h' et rencontrant [es deux droites ma, mb, respectivement, sur l'axe d'homologie.
On peut, par une construction analogue, construire la seconde figure en connaissant seulement le centre d'homologie et deux droites de cette figure correspondant à deux droites de la première figure.
C'est ainsi, par des intersections de lignes droites, que M. Poncelet a construit les figures homologiques dans son Traité des propriétés projectives(^), Ouvrage dans lequel se trouvent de trèsheureuses applications de cette théorie, comme nous le verrons en traitant des sections coniques.
(' ) Traité des pi opriétés projeclhes desjîgu (■) Voir p. 161-16^, arl. 302-304.
déformer les figures homologiques.
530. Etant pris dans le plan d' une figure un point fixe S cl un axe fixe X, si sur le rayon mené de ce point à chaque point m de la figure on détermine un second point ni' par la relation
fi étant le point oit le rayon Sm rencontre l'axe fixe X ei ). une constante, le point m' appartiendra à une figure homologi^ue à la proposée; le point S et l'axe X seront le centre et l'axe d'homologie des deux figures.
En effet, les deux figures salisfont à l'une des deux condition.s
de conslruction des figures homologiques, savoir, que les points homologues soient sur des droites concourantes en un même point; il suffit donc de prouver que deux droites homologues se rencontrent sur l'axo fixe. Or, pour deux couples de points correspondants a, a' et m, m', on h
et par conséquent
Celte relation prouve que les deux séries de points S, a, a, a' c
FIGURES HOMOLOGIQUBS.
m' onl le même rapport anharmonique, et par consé-
quent que les deux droites am, • ctfA (42); ce qu'il fallait prouver.
On peut appeler la constante X le i deux figures.
Quand oq donne un point a' de lafigi correspondant à un point a de la figuri se trouve déterminée par la relation
concourent sur l'axe fixe
jefftcient d'homoiogie des
re que l'on veut construire, proposée, celte constante
531. Cas particuliehs. —I. Si l'o à l'infini, le rapport ^-—, devient cga
suppose l'axe d'homoiogie i l'unité, et la relation se
Alors les deux figures sont semblables et semhlablement. placées ou homothétiques . Leur centre et leur rapport de similitude sont le point S et la constante )..
II. Le centre d'homoiogie de deux figures peut être à l'infini;
Sw
alors le rapport ^-— ; est
à l'unité, et la relation se réduit à
On peut dire que la seconde figure est formée par I' ment des ordonnées de la première dans un rapport constant,
IV. — Construction des Rgures lioinotogiques dérivée de la construction générale des figures homograpliiques.
S32, Supposons que dans la construction générale des figures homograpliiqiies (SU) on prenne pour les points A', B', C de la seconde figure les trois points A, B, G de la première ; les relations [a] deviennent
35ï TRAITE DE GEOMETBIE S
Si X eL y. ont des valeurs quelconques, les deux figures n'ont rien de particulier dans leur position relative; seulement, trois points de l'une coïncident avec leurs homologues respectifs dans l'autre, ce qui a lieu en général, comme nous le verrons (572), quelle que soit la position de deux figures homographiques. Mais, si les deux constantes >. et ;n sont égales, alors les deux figures sont homologiqiies; le point C [fig- 1 16) est leur centre d'komologie et la base AB leur axe d'homologie.
En efl'et, les deux constantes étant égales, les deux équations donnent celle-ci
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qui prouve que les deux séries de points A, a, a', C et B, h, b', C ont le même rapport an harmonique, et par conséquent aussi les deux faisceaux de quatre droites qui ont leurs centres en B et A et dont les rayons passent par ces deux séries de quatre points, respectivement.
De là on conclut, d'abord que les deux droites ni, a'b', qui sont deux droites homologues dans les deux figures, concourent en un même point de la hase AB (-42), et en second lieu que les deux points m, m' sont en ligne droite avec le point C {^1)-
Ainsi les deux figures satisfont aux deux conditions de construction des figures homologiques ; ce qu'il fallait prouver.
La relation caractéristique des figures homologiques
dérive aussi de ces considérations.
Car, les trois points C, m, m' étant en ligne droite, r
