V. — Relations métriques des figures homologiqiii-s
S33. Quand on considère deux figures homologiques comme deux figures qui ont été la perspective l'une de l'autre, on en con-
FIGURES HOMOLOGIQUES. 353
dut que loates les relations métriques des figures homographîques, démontrées dans le paragraphe précédent, s'appliquent d'ellesmêmes aux figures homologiques. Toutefois, la position particulière de ces figures donne lieu à quelques relations spéciales fort importantes que nous verrons plus loin (VI)-
53i. Quand on décrit les figures homologiques sur le plan, soit par des intersections de lignes (S29), soit par la relation (6), la démonstration directe de leurs deux propriétés métriques fondamentales, d'où toutes les autres se déduisent, est extrêmement facile ; elle dérive immédiatement des conditions de position des deux figures. Ces propriétés consistent en ce que quatre points en ligne droite ou quatre droites concourantes en un même point dans la première figure ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points ou des quatre droites correspondantes dans la seconde figure.
Or, dans deux figures homologiques: i"les droites qui joignent quatre points de la première a, b, c, d h. leurs homologues a', h', c', «/'respectivement passent par un môme point (le centre d'homologie); donc, si les deux séries de quatre points sont sur deux droites, leurs rapports anharmoniques sont égaux (1 4) ; a" quatre droites concourantes en un même point dans la première figure rencontrent respectivement les quatre droites correspondantes en quatre points situés en ligne droite (sur l'axe d'homologie); donc les rapports anharmoniques des deux faisceaux de quatre droites sont égaux (13).
Ainsi les relations métriques qui font le caractère des figures homographiques en général se trouvent démontrées directement pour les figures homologiques.
533. Considérons les deux droites 1 et J' qui, dans chaque figure respectivement, correspondent à l'infini de l'autre figure. Ces deux droites sont évidemment parallèles à l'axe d'homologie, car la droite à l'infini dans la seconde figure et la droite I qui lui correspond dans la première rencontrent l'axe d'homologie au même point, et ce point est à l'infini ; donc la droite 1 est parallèle à l'axe d'homologie.
Les distances des deux droites I et J' soit au centre, soït àl'axe
354 TRAITIÎ DE GÉOUliTHIE SUPÉRIEURE. — GBAPITRB XXV.
d'homologie dépendent de la constante 1 dans la relation
S m' <tm'
Soient I, j' et x les points où le rayon Siii rencontre les deux droites I cl J'et l'axe d'homologie. Faisant S hi' infini, on a — ;=X; et, faisant S m infini, ^ =: - ■
.TJ l
Ainsi l'on a
- = ^ ou S,-.S/r-=.^;.,r/.
Cette relation montre que le milieu des deux points i ety' coïncide avec celui des deux points S et x, ou, ce qui revient an même, que la distance de la droite I au point S est égale, mais en sens contraire, à celle de la droite J' à l'axe d'homologie. En effet, la
. Si xf , proportion — . = — ; donne
S/ — xi '~ .T.j' — S./' S.f 3tS '
Ce résultat pouvait être prévu, car les points m et m' des deux figures situés sur un même rayon forment deux divisions homograpliiques dont les points doubles sont Set.r; par conséquent, le point milieu de ces deux points coïncide avec celui des deux i et
VI, — Développements relatifs aux piopiiétés métriques des figures komologiqaes. — Diverses manières de former la figure homologique à une figure donnée.
53G. Considérons dans une figure deux droites fixes, cl dans la figure homologique les deux droites correspondantes. Soient mp, mij les perpendiculaires abaissées d'un point m de la première figure sur les deux premières droites, et ^n'p' , m'q' les perpendiculaires abaissées du point m' sur les deux autres droites ; les deux
rapports —■, —j—, seront entre eux dans une raison constante,
^ HOMOLOCIQUES.
quels que soient les deux polnls homologues m, m' , car celte relation dérive, comme nous l'avons vu (522), de l'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux homologues. Écrivons donc
Cette équation donne lieu à plusieurs autres relations.
537. Supposons que la prenîière droite de la première ligure passe par le centre d'homologie; elle coïncidera avec son homologue, et Ton aura
et par conséquent
Ainsi : Dans deux JîgureshomologUjues, si l'on prend deux droites fixes homologues L, L', le rapport des distances de deux points homologues quelconques au centre d'homologie sei'a au rapport des distances de ces deux points aux deux droites L, L', respectivement, dans une raison constante.
538, Si l'on prend pour !a droite 1^ l'axe d'homologie, L' cidera aussi avec cet axe, et le rapport — ; sera égal à — ;;
comil en
ce qui csl la relation déjà démontrée (532).
Nous n'aurions pas besoin de dire que, dans ces diverses lions, de même que dans celles qui suivent, la constante X ne serve pas la môme valeur.
539. Supposons que la droite L soit à l'infin disparaît de l'équation [d] et l'on a
segm
yGoosle
IIE SUPKIlieUHE. — CHAPITRE XXV.
m! c^' esL la distance du point m' à la droite J', qui dans la seconde figure correspond à l'infini de la première (535),
Cette relation entre deux figures homologiques sera très utile pour transporter à une figure les propriétés d'une autre. On \oit, par exemple, que, si la première est un cercle ayant son centre en S, on aura dans la seconde
ce qui montre que celle-ci est une conique ayant son foyer en S et pour directrice la droite fixe J'.
540. Supposons dans l'équation générale (c) que la première droite, à laquelle se rapportent les perpendiculaires mp, soit à l'infini, et que la seconde soit la droite I qui correspond à l'infini de la seconde figure ; les deux segments mp, m' q' disparaîtront, et
Ainsi, les deux droites I et J', qui correspondent, dans chaque figure respeelivement, à l'infini de l'autre figure, jouissent de cette propriété que le produit des distances de deux points homologues à ces deux droites, respectivement, est constant.
Par conséquent : Etant données deux droites parallèles dans le plan d'une figure, si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point m de la figure, et que sur ce rayon on prenne un point m' tel que le produit des distances des deux points m, m' aux deux droites, respectivement, soit constant, le point m' décrira une fgure ho/nologique à la proposée.
g IV. — Expression analytique des figures homo graphique s.
Sil. Piapportons les points de la première figure à deux axes coordonnés OX, OY, et ceux de la seconde figure à deux autres axes coordonnés ox, oj pris arbitrairement.
FIGURES nOMOGEApaïQUES. 357
LapropriéLé des deux figures, exprimée parle théorème (S22), fournit immédiatement l'expression des coordonnées de chaque point de la seconde, en fonction des coordonnées du point homologue de la première.
En effet, soient
AX + BY-H =0, A'X 4-B'Y-Hi --=0, A"X + B"T^-t = o
les équations de trois droites de la première figure (433, ConoL-
ccllcs des trois droites correspondantes dans la seconde figure.
Soient X, Y les coordonnées d'un point M delà première figure et X, y celles du point homologue m de la seconde figure ; le rapport des distances du point M à deux des droites de la première figure sera au rapport des distances du point m aux deux droites correspondantes de la seconde figure dans une raison constante (522) . On aura donc les deux équations
J A"XH
d'où l'on tire les valeurs de x <itj t Y, lesquelles sont de la forme
n fonction des c{
542. On peut démontrer a priori que les expressions de x et j" sont de cette forme. Pour cela, considérons les axes oj et ox comme deux droites faisant partie de la seconde figure; soient
aX-)-ÊT + i = o
les équations des deux droites qui correspondent dai figure à ces deux-là, et
yGoosle
158 TRAITE TE GEOMETRIE s
cclîc de la droite qui correspond dans celte figure à rinrin! de la seconde.
La distance d'un point m de la seconde figure à l'axe oj sera au rapport des dislances du point homologue M de la première figure aux deux droites correspondant à l'ase oy et à l'infini de la seconde dans une raison constante (523). On a donc
'«"x + f/Fl
et pareillement
S43. Les trois équations
«X+ey-t-i:=o, «'X-f-S'YH- L = o, K"X + S"Y-h i=-o
représentent les trois droites de la première figure qui ont pour homologues dans la seconde l'axe oy, l'axe ox cl l'infini.
Les axes OX, OY de la première figure sont arbitraires, ainsi que les deux ox, oy de la seconde figure. On peut, en disposant convenablement de ces quatre axes , donner aux formules des expressions plus simples, que voici ".
i^Les deux axesOX, OY sont quelconques, etles deux ox, ojsonlles droites qui leurcon-espondent dans la seconde figure :
" H"X + fi"Y-
2" OY est paralièie àMa droite I qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde; OX est quelconque; oj et ox correspondent respectivement à OY et OX; [oj est parallèle à la droite J', qui, dans la seconde figure, correspond à l'infini de la première (dl3)] :
FIGURES HOMOGIt.lPHIOUES, 359
3" OY csl la droite I ; OS quelconque ; ox, oj quelconques :
4" OY est la droite I; OX est quelconque; ox correspond à OX, et OJ est quelconque :
«X^gY-^-i ïY
5" OY est la droite I; OX quelconque; ox est la droite J', et oy quelconque :
6" OY est la droite I; OX. quelconque ; ox est la droite J', et oy correspond à OX :
7° OY est la droite I ; OX quelconque ; oy est la droite J', et ox correspond à OX :
Ces différentes relations s'appliquent aux figures homograpliiques dans toute leur généralité, et sont indépendantes de la position relative des deux figures.
g V. — Figures homo graphique s ayant deux droites homologues coïncidentes à l'infini.
