IV. — Co/istrnrlion aiialjtique lies figures

5oO. Ayant pris deux systèmes quelconques d'axes coordonnés OX, OY et o,r, oj, dans les deux figures respectivement, soient

AX + BT + i =^ o et A' X -i- B' Y + I = o

les équations des deux droites de la première figure, et

celles des deux droites correspondantes dans la seconde figure. Soient X, Y et jc, y les coordonnées de deux points correspondants des deux figures ; les distances de ces deux points à deux droites correspondantes, respectivement, sont entre elles dans un rapport constant (diT); de sorte qu'on a les deux équations

AX -;- EY + I = l{a.r -h hy ^ i), A'X-t-Il'Y-+- 1 = ix{a.T^- l/j-A-i);

d'où l'on tire pour x et j' des expressions de la forme

^=3(«X + eY-i-i), ^=^[./x^-g'T-^-lj.

Ces expressions se peuvent déterminer a priori. Soient

hX H- ev + I = o et st'X + g'Y + i --0

les équations des deux droites qui correspondent, dans la première figure, aux axes ox, oy de la seconde; les distances d'un point m de la seconde figure aux deux axes oy, ox sont proportionnelles aux distances du point correspondant, dans la première figure, aux deux droites qui correspondent à ces axes. On a donc les deux équations

^ = ^(«X + ëY+.). J^?("'X + ê'Y+r).

On simplifie ces formules en prenant pour les axes OX, OY

les droites correspondantes aux deux axes ox, oy- On a alors

§ TI. — Propriétés relatives au système de deux figures ho mo graphique a placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre.

T. — De ta courbe d'intersection des rayons homo'o^ites de deux faisceaux homogi aph iques.

551. La courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiqitcs pa.ise par les centres des deux faisceaux.

Construction des tangentes à la courbe en ces points.

Soient O, O' [Jîg. 1 18) les centres des deux faisceaux; Om, O'ra deux rayons homolcigues. Le rayon 00' du pi'emier faisceau rencontre son homologue O'fi'au point G'; de sorte que la courbe passe par ce point.

La tangente à la courbe en ce point est précisément le rayon O'ii' ; car, si l'on conçoit le riiyon du premier faisceau 0 w infiniment peu incliné sur 00', son homologue 0% sera inGoiment peu incliné sur O'il', et le point (M, intersection de ces deux rayons homologues Ow, O'w, sera le point de la courbe infiniment voisin du point 0'. La droite D'il', limite de la droite O'w, sera donc la tangente à la courbe. c. q, f, p.

552. La courhe lieu des points d'intersectinn des rayons homologues de deux: faisceaux homographiques ne peut être rencontiéc par une droite qu'en deux points réels ou imaginaires.

Dé/erminer ces points.

Les rayons du premier faisceau {^g. 119) rencontrent une droite L en des points a, b, c, .... et les rayons homologues du second faisceau en des points a', h', c', . . . ; ces deux séries de points forment deux divisions homographiques, et il est évident que les points d'intersection de la courbe en question par la droite L sont les points doubles de ces deux divisions. Ce qui prouve que la courbe n'est renconiréepar la droite qu'en deux points, réels ou imaginaires.

Ces deux points se déterminent par la construction générale des points doubles de deux divisions homographiques (161 et 271).

553. n résulte de là que l'équation de la courbe, exprimée dans l'un des systèmes de coordonnées du Chapitre XXin, sera du second degré.

FIGURES HOMOGRAPHIQUES. 365

Réciproquement ; Toute équation du second degré représenle, une courbe

lieu des points d' inlerseetion des rajons homologues de deux /ai:

h omographiques.

Car, par cinq points de la courbe représentée par l'équatiot degré, on pourra faire passer une courbe Ileii des points d'în rayons homologues de deux faisceaux homographiciues, ayant leurs centres en deux des cinq points, et l'équation de cette courbe sera du second degré. On aura donc deux équations représentant deux courbes se coupant en cinq points, ce qui prouve que les deux courbes coïncident, purce que deux courbes du second degré différentes ne peuvent avoir plus de quatre points d'intersection .

Observation. — Si le système de coordonnées est celui dans lequel les deux coordonnées d'un point sont les l'apports des distances de ce point à trois axes fixes (485), on en conclut que la courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiqaes est le lieu d'un point dont les distances à Crois aa-.esjl^es ont entre elles une relation homogène du second degiv.

55'('. La courbe Lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux //omographiques Jouît de la propriété que, si autour de deux quelconques de ses points on fait tourner deux rayons se coupant sur la courbe, ces deux rayons décrivent deux faisceaux /lomogra/iliiques.

Cela résulte immédiatement du théorème (4-25), relatif à l'hexagone.

555. Puisque les deux rayons Ara, Bra, qui tournent autour de deux points fixes quelconques de la courbe, forment deux faisceaux homogra- ])hiques, les qiuitre rayons menés du point A à quatre points de la courbe ont leur rapport anharmoniqne égal à celui des quatre rayons menés du point B aux quati-e mêmes points, et cette égalité a lieu quel que soit lu point B ; de là résulte ce théorème :

La courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques jouit de la propriété que les quatre droites menées de quatre points fixes de la courbe, à un cinquième point quelconque de la courbe, ont toujours le même rapport anharmontque.

Réciproquement ; Étant donnés quatre points fixes non situés en ligne droite, si l'on demande le lieu d'un point tel, que les quatre droites menées des quatre points fixes à ce point variable aient leur rapport anharmontque égal à une quantité constante, le lieu de ce point sera le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux fait

3G(j TE,1IIÉ DE GliOJlliTKIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE XXV.

En effet, soient A, B, C, D (/%. 120) les quatre points fixes donnés, et BI l'un des poinisqui satisfont à. la question; c'est-à-dire que les quatre droites MA, MB, MG, MD ont leur rapport anharmonique égal à une quantité donnée 1. Soient m, m' les points où les deux droites CM, DM rencontrent la droite BCi les quatre points A, li, m, m' ontlcur rapport anharmonique égal à 1 ; on a donc

B(» &m' ' Bw Bm'

Cette équation prouve que les deux points m, m' forment detis divisions homograpliiques ; donc les deux droites Cm, Dm' forment deux faisceaux homographiques. Ce qui démontre le théorème énoncé.

556. Deux courbes dont chacune est le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques peuvent être con~ sidérées comme deux figures homographiques dans lesquelles trois points quelconques de l'une correspondront respectivement à trais points de l'autre.

Soient A, B, C [fig. lai) les trois points de la première courbe qui doivent correspondre aux trois points A', B', C de la seconde. Prenons les points A et B pour les centres de deux faisceaux homographiques dont les rayons homologues se coupent sur la première courbe ; AC et EC seront deux rayons homologues, et la relation entre deux autres rayons homologues krn, BiM sera de la forme

hBA

Soient pareillement A', B' les centres des deux faisceaux relatifs à conde courbe; A'C, B'C seront deux rayons homologues lixes, et k tion entre d-iux autres i-ayons homologues A'm', B'm' sera

Le point m étant pris iubitrairement sur la prêt déterminer un point m' de la seconde par les relatioi

Car les rapports de segments qui déterminent ce point m' satisfont à tion de la seconde courbe, en vertu de l'équation de la première, !

FIGUBES HOMOGRAraïQUES. 3G7

relations établissent «jue les deux courbes sont homographîcjues (31i j. Le théorème est donc démontré.

557. Kous verrons (580) que deux figui-es homograpliiques peuvent être placces de manière a être la perspective l'une de l'autre; par conséquent ;

DeiiJ^ coiirhes, dont chiicaiie est le lien des /loiiits d' intersection des rajons homologues de deux faisceaux: komographiques, peui>ent être placées de rruiniére à éCrela perspective l'une de l'autre; trois points de la première devant eon'espoitdre à trois points désignés de la seconde.

558. Les rayons menés de deux points fixes d'un cercle à un troisième point de la circonférence forment deux faisceaux homographiques, jarce que les angles de l'un sont égaux respectivement aux angles de l'autre; de sorte qu'un cercle est une des courbes lieux des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homograpliiques. Il i-ésulte doac du théorème précédent que ;

-La courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deujj faisceauje homogrophiques peut toujours être considérée comme la section plane d'un cône à base circulaire ; c'est-à-dire que cette courbe est une tec-

Jutre démonstration. — Concevons une droite quelconque L qui ne rencontre pas la courbe; et soient a, a' les points où les deux rayons homologues Am, Bni rencontrent cette droite. Ces points forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont imaginaires, puisque la droite ne rencontre pas la courbe (552). Donc il existe deux points Pet P' situés de part et d'autre de la droite, d'où l'on voit tous les serments tels que aa', sous des angles égaux (177). Concevons un cerele deciit sui PP comme diamèti'e, dans un plan perpendiculaire u la dioite L d un point quelconque S de ce cercle, on verra les segments aa sous des angles eg lux Que l'ceit reste placé en ce point et que l'on fasse h perspectif e de la fi^ui e sur un plan parallèle au plan mené par ce point et la dioite L les deux rayons Aa, Ba' auront pour perspective deux droites piialleles aux deux Sa, Sa', et par conséquent faisant entie elles un ingle de grindcur cou stante. Donc ces deux droites qui tournent autoui de deux points fixes, perspectives des deux A, B, se coupent sur un cciclc Dint, la pcispccti^c de la courbe en question est un cercle. Ce qui dcmrntie le ti on,me

368 TRAITiî DE GEOMETRIE SUPERIEURE. ~ CHAPITRE XXV.

II. — De lu courbe enveloppe des iliwies qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homogiaphiques.

559. Quand deux droites lu, l! sont divisées Iwmograpkiquement en deux séries de points a, b, c, . . . et a', b', c', . . . [fig. 122] la courbe enveloppe des droites aa', bb', . . . qui joignent, deux à deux, les points homologues, est tangente aux deux droites L, L'.

Tyouver les points de contact.

Soit A le point d'interseclion des deux droites L, L' ; considérons ce point comme appartenant à la première division, son homologue A' dans la seconde division sera sur la droite L' ; par conséquent, cette droite L' ou AA' est une des tangentes à la courbe.

Son point de contact est le point A'. En effet, si le point a est pris infiniment voisin de A, le point a' est infiniment voisin de A' et la droite aa' est la tangente îi la courbe, infiniment voisine de la tangente L'. Le point a', intersection de ces deux tangentes, est le point de contact de l'une d'elles, A la limite où «coïncide avec A, a' coïncide avec A'. Donc c'est en ce point A' qu'a lieu le contact de la droite L'.

560. Par ail point on peut mener, en général, deux tangentes réelles ou imaginai/es, à la courue enveloppe des droites qui Joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homographiques .

Trouver ces deux tangentes.

Les droites menées d'un point fixe aux deux séiics de points a, b, c, . . , et a', b', c', ... des deux divisions forment deux faisceaux homographiques, dont les rayons doubles sont deux tangentes h la courbe; car chacun de ces rayons passe par deux points homologues des deux divisions; ce (jui est la propriété des tangentes à la courbe.

On conclut de là qu'on ne peut mener à la courbe, par un point donne', que deux tangentes, lesquelles se détermineront comme rayons doubles de deux faisceaux homographiques. Ces rayons, et par conséquent les deux tangentes, pourront être îmaginaiies,

561 . Puisque par un point donné on ne peut mener que deux tangentes, réelles ou imaginaires, à la courbe enveloppe des droites qui divisent homographiquement deux droites fixes, on en conclut que cette courbe est de deuxième classe (501) ; et que son équation exprimée dans le système des coordonnées d'une droite est du second degré, c'est-à-dire qu'il existe

F[GUIIES HOHOGHAPHIQUES. 369

, , , , , ak ÙB

une équation du second degré entre les raj>ports des segmenis — s ^^ t^

[fig. 10g) que chaque tangente à la courbe fait sur deux axes ftxes SA, SB ; ou bien qu'il existe une relation homogène du second de^jré entre les dislances de chacune des tangentes à la courbe .\ trois points fixes quelconques S, A, B (505).

Réciproquement : L'équation générale du second i/egié entre les deu.r

rapports de segments — -■, y— faits sur deux a.ies Jixes, ivprésente une

eourhe dont toutes les tangentes forment , sur deu.T tangentes Jî-xes, deu.r, divisions homographiques .

Car trois tangentes et les deux langeâtes iîxcs déterminent une courbe enveloppe de touteslesdroiles qui divisent homographiqnemenl ces deux tangentes fixes. Cette courbe aura une équation du second degré (561); donc on aura deux courbes représentées l'une et l'autre par une équation du second degré et ayant cinq tangentes communes. Donc les deux courbes coïncident, parce que deux courbes de seconde classe ne peuvent avoir plus de quatre tangentes communes.

Observation. — Si au rapport de segments on substitue pour coordonnées d'nne droite les rapports des dislances de celte droite à trois points fixes (505), on en conciul que : Les droites qui divisent homo graphiquement deux droites fixes jouissent de la propriété que les tiistaiices de chacune de ces droites à trois points fixes ont entre elles une relation /lornogène du second

562. La courbe enveloppe des droites qui joignent les points homologues de deux divisions homographiqnes jouit de ta propriété que deux quelconques de ces tangentes sont divisées homographiquenient par toutes les

Cela se conclut sans difficulté du théorème (!t22) relatif à six droites, dont quatre divisent homographiquement les deux autres.

563. Il suit delà que : La courbe enveloppe des dmites qui joignent deux à deux les points bomologiies des deux divisions homographiqnes peut être considérée comme l'enveloppe d'une droite mobile qui, dans chacune de ses positions, détermine sur quatre droites fixes quatre points ayant un rapport

s constant.

Réciproquement : La courbe enveloppe d'une droite mobile qui, dans CUASLES.— Giom. sup. ^4

37" TBAITB DE GÉOHËTniE SUPÉRIEURB. — CHAPITRE XXV.

chacune de ses positions, rencontre quatre droites Jlj:es en quatre points ayant un rapport anharmonique constant, peut être considérée comme l'enireloppe d'une série de droites qui divisent homographiijuement deux droites

Soient qnitie diaites fi\es A B C D /^. 1 23) rencontrées par une cinquirme M en quatie prints a I c d Que du point d'intersection O des deu\ droites A, B n mené les deu\ Oc, Od; les «luatre droites \ B 0( Orf lan ni leur iippoit nnhii m inique constant, quelle que soit la droite M, parce que ce rapport est égal à celui des quatre points a, h, c, d, lequel est constant, par hypothèse: on ,iura donc

sinfl^c . sinfeOc sinaOc sJnaOd

sïn aÔ7/ ' ïïiïÂOrf ~ "" siniOc ^ sin^-Orf'

ce qui pixtuve que les deux rayons Oc, Od forment deux faisceaux homographiques (149). Par conse'quent, les deux points c, d forment sur les deux droites fixes C, D deux divisions homographiques ; ce qui démontre le

564. Ueiix courbes, dont chacune est l'enveloppe des liroiles qui joignent es points homologues de deux divisions liomograpliiques, peiifcnl éti'e considérées comme deux figures homogi-aphiques, dans lesquelles trocs tangénies quelconques de l'une cori-espondent à trois tangentes désignées dans

En effet, soient AB, liC, CA les trois Lingentes de la première courbe, et A'B', B'C, C'A' celles de lu seconde courbe qui doivent leur correspondre. Une quatrième tangente M à la première courbe rencontrera les deux AC, BC en deux points a, h qui formei'ont deux divisions honiograpar la relation

Les deux tangentes ah, i' h' aux deux courbes, respectivement, peuvent être liées par les relations

FTCVRES lIOMOGHAPilIOURS, 3^1

car, en vei'tu iJe l'cq«ation de la première courbe, les valeurs des rapports

—i~;> yT— ; données par ces équations satisfont à l'équation de la seconde.

Or ces relations établissent que les deux droites ab, a' //' enveloppent deux courbes liomographiques dans lesquelles les trois droites A'B', B'C, C'A' de la seconde correspondent aux trois AB, BC, CA de la premièj-e ( 511). Le théorème est donc démontré.

S65. Deux figures liomographiques peuvent être placées de manière à être la perspective l'une de l'autre (580). Donc :

Deii.v courbes dont chacune est Venveloppe des droites qui joignent les points homologues de deux dipîsions homographiques peuvent toujours être considérées comme étant la perspective l'une de l'autre, de manièie que trois tangentes de la première correspondent respectiiement n trois tangentes désignées de la seconde.

5C6. Les tangentes à un cercle forment sur deux tangentes fixes deux divisions homographiques ('). On conclut donc du théorème précédent celui-ci :

La courbe enveloppe des droites qui joignent tes points homologues de deux dipisions homographiques peut être placée sur un cône à base clreu~ laire et est, par conséquent, une section conique.

Autre ilémonstration. — Soient a, b,c, . . . et a\ b', c' , . . . [fig. ia4) les points des deux divisions formées sur deux droites L, L', Deux droites telles que ab' et a' b se coupent en un point dont le lieu est une ligne droite A (113), et les pomts où cette droite rencontre les deux L, L' sont précisément les points de contact de ces deux droites avec la courbe (559). La droite A rencontre la coui'bc en ces deux points, de sorte qu'une partie de cette droite est au dehors de la courbe et l'autre dans son intérieur. Prenons sur cetli> droite un point 0 dans l'intérieur delà courbe, de manière que les tangentes que l'on voudrait mener par ce point soient imagi-

Ceia posé, les ilroites menées du point 0 aux deux séries de points a, b, c, ... et a', b', c', ... forment deux faisceaux homographiques, et ces deux faisceaux sont en involution, parce que, si l'on considère !e rayon Oa du premier, qui a pour homologue dans le second Oa\ comme appartenant

C) Cette pTOppiété du cercle sera démonlrée daiia la IV" Sectîgn, Chap. XXVIII,

37a TRAITÉ DE GÉOUÉTRIE BTJPéRIETIBE. — CHAPITRE SXV,

au second faisceau et étant Ob', son homologue Ob dans le premier faisceau coïncide avec Oa'; ce qui suffit pour que les deux faisceaux soient en involution [259]. Par conséquent, les inlerscctions des deux faisceaux par une même transversale seront deux divisions homographiques en involution. Supposons que cette transversale passe par le point A, intersection des deux droites L, L', et par le point h, intersection des deux droites aa', bb'; et soient y, y' les points où elle rencontre deux rayons homologues Oc, 0 c' des deux faisceaux. Ce sont ces deux points -/, 7' qui forment deux divisions en involution ; et ces deux divisions ont leurs points doubles imaginaires, parce que les deux rayons doubles des deux faisceaux, qui seraient les deux tangentes à la courbe issues du point 0 [560), sont, par hypothèse, imaginaires.

OoDC il existe deux points P, P', situés de part et d'autre de la transversale, de chacun desquels on voit chaque segment 77' sous un angle droit (210), Que sur PP' comme diamètre on décrive «ne cbconférence de cercle dans un plan perpendiculaire à la transverside, et qu'en prenant pour lieu de l'œil un point S de cette circonférence on fasse la perspective de La figure sur un plan parallèle au plan mené par le point S et la transversale, on aura en perspective une courbe [fig- laS) inscrite diins un losange (parallélogramme à diagonales rectangulaires) dont toutes les tangentes ce' seront vues du p<ûnl de croisement des deux diagonales sous des angles droits. Or on sait que cette courbe est un cercle. Donc, la perspective de notre courbe est un cercle; ce qui démontre le théorème,

567. Il résulte des propositions [558 et 566] que la courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques, et la courbe enveloppe des droites qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homographiques sont identiques, puisque ces deux courbes sont l'une et l'autre des sections du cône i base circulaire, c'est-à-dire des sections coniques. Nous aurions peu de mots à ajouter pour pixinver que réciproquement toute section conique peut être considérée comme étant tout à la fois le lieu des points d'inJerseclion des rayons homologues de deux faisceaux homographiques et l'enveloppe des droites qui divisent homographiquement deux droites fixes. Mais nous voulons éviter d'anticiper ici sur la Uiéorie des sections coniques, qui doit faire le sujet d'une élude spéciale; par cette raison, nous passons sous silence diverses propriétés générales de ces courbes, telles que celles de l'hexagone inscrit ou circonscrit, et toute la théorie des pôles, qui se pre'senteraient ici d'elles-mêmes, comme conséquences naturelles et immédiates de nos théories du rapport anharmonique et de l'homographie soit de deux séries de points, soit de deux faisceaux.