III. — propriétés relatives h deux figures komographiqiies
568. Quelle que soit laposition de deux figures homograpliiques, toutes les dinites de l'une qui passent par un même point reticontrent respectivement les droites homologues dans l 'came figure en des points situés sur une
Car ces droites des deus figures forment deux faisceaux homographiques (519); donc elles se rencontrent deux à deux sur «ne conique (588).
569. Quelle que soit la position de deux figures homograpliiques, si l 'on joint un h un i-espectivement par des droites des points de la première situés en ligne dmite au.r, points homologues de la seconde, toutes ces di-o/tes eni-elopperont une conique.
Car les points de la première figure étant en ligne droite, leurs homologues sont sur une seconde droite et les deux droites sont divisées liomographiquement. Donc (566), etc.
570. Dans deux figures homograpkiques placées d'une manière quelconque, les points de la première qui satisfont à la condition que les droites qui les joignent à leurs homologues respectifs, élans la seconde figure, passent toutes par un même point donné, sont situés sur une section conique.
La courbe lieu des points en question ne peut être rencontrée par une droite L qu'en deux points, [larce que, cette droite étant considérée comme appartenant à la première figure, les droites qui joindront ses différents points à leurs homologues respectifs envelopperont une conique (566) à laquelle on ne pourra mener que deux tangentes par le point donné; de sorte qu'il n'existe sur la droite L que deux points qui, étant joints à leurs homologues, donnent deux droites passant par le point donné. Par conséquent, cette droite ne rencontre la courbe en question qu'en deux points, réels ou imaginaires; par suite, cette courbe est du second degré ; c'est donc le lieu des points d'intersection des rayons homologues de deus faisceaux honiographiques (§53)ou enfin une conique (S58)-
571. Dans deux figures homographiques , les droites de la première figure qui jouissent de la /propriété de rencontrer leurs homologues respec-
374 Tft.llTÉ DE GÉONÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE XXV.
tires en des points situés sar une tlroite Jl.re donnée sont tomes langeniex à
La courbe enveloppe des droites en question n'admet que deux tangentes, réelles ou imaginaires, issues d'un même point. En effet, les droites de la première £l(,'ure issues d'un même point O rencontrent leurs homologues respectives en des points situés sur une conique qui ne rencontre la droite donnée L qu'en deus points; il n'existe donc que deux droites de Lt première figure passant par le point O qui rencontrent leurs homologues respectives sur la droite L; conséquemment, la courbe en question n'a que deux tangentes issues du jKiint 0. Il s'ensuit que cette courbe est de seconde classe, et, par conséquent, l'envelop]» des droites qui joignent les points homologues de deux divisions homographiques (561), c'est-à-dire une conique (566). c q. e- d.
572. Deux figures homographiques étant placées d'une manière quelconque, il existe en général trois points qui, considérés comme appartenant à la première figure^ sont eux-mêmes leurs homologues dans la se-
Deux de ces tiois points peuvent être imaginaires, mais le troisième est toujours réel.
En effet, considéi'ons dans les deux figures deux faisceaux homologues autour de deux points O, O' ; leurs rayons homologues se couperont en des points situés sur une conique passant par les deux points 0, 0' [551 et 558) ; et cette courbe passera évidemment par tout point A où coïncideront deux points homologues des deux figures, car les deux droites OA, O'A seront deux rayons homologues des deux faisceaux.
Considérons deux autres faisceaux homologues autour des deux points P, P' ; les rayons homologues se couperont encore sur nue conique qui passera par les points tels que A. Cette conique et la première se couperont en général en quatre points, dont l'un est le point d'intersection des deux droites OP et O' P', qui sont deux rayons homologues dans chacun des deux systèmes de fiisceaux, homologues. Chacun des trois autres points d'interse:,lion d(s deux coniques jouit de la propriété d'être le lieu de coïncidence de deux points homologues des deux figures; car, soit m un de ces points dinteiseciion les dtoites Om, O'w des deux figures, respectivement, sont homologues paice qu elles se coupent sur la première conique, et pareillement les deux droites Pw, P'u sont aussi homologues, parce qu'elles se coupent sur la seconde conique. Par conséquent, le point w, considéré comme intersection des deux droites Ow, P" de la première figure, a pour homologue le point m lui-même, considéi* comme l'intei-seclion des deux
FIGURF'Î HOMOGRlPlIIQlt^ 375
droites hcmolOpUts 0 u P u dîna h stiondc figuie Ainsi il est démontré qu'il esiste en genei il trois poinls jouissant de Id pi opriété en question et qu'il n en existe pis un quiliieme Oi, quand deux coniques se coupent en un point ellea ont nccessju'ement un second p3int d intersection réel; donc l'un des trois points en question est Ioqj urs ipcI les deux autres pouvant être imaginaires. Le tliéoième est donc dcmontré .
573. Dans deux figures hontograpliiques ilexhte en général t. qui^ considérées comme appartenant à la première figure, so'it elh leurs homologues dans la secondé figure.
Deu3: de ces droites peuvent être imaginaires, mois la Iroisiénie jours réelle.
Eq effet, prenons deux droites homologues L, L' ; les droites qui deux à deux leurs points homologues e 1 pp con q
Cette courbe est tangente à toute droite D ] q 11
deux droites homologues; cur il est claii ] 1 D
deux L, L' en deux points homologues, c 1 1 i "
tangentes à la conique.
Considérons deux autres droites hom 1 M M 1 d
joignent leurs poinls homologues envelopj d >
deux courbes ont pour tangente commune 1 d q J 1 |
tersectioQ des deux droites L, Kl au point d d d d
M', car ces deux points sont deux points h m I u L T
que sur H et M'. Les deux courbes ont t is u coi
dont deux peuvent être imaginaires, mais d n I m
réelle. Chacune de ces tangentes, étant con d ee m [ ] première figure, est elle-même son homol "i d n 1 d li
les deux points où une de ces tangentes co 1 d do sont les homologues des deux points où. c m ng »
deux di-oites L', M', Par conséquent, le tl eo m d
Is droites
de l-a
- Où l'on démontre qae deux figures homographiques quelconqui ■t être placées de manière à être komologiques ou perspectives l'un
574. Quand, dans deux figures h mière situés sur une même droite c pectifs, il en est de même de tous t deux figures sont komologiques ,
raphiquei, trois points de la predent avec leurs homologues res- '.Ires points de cette droite, et les
376 TRVITL DE TLONETRIE SUPEUICIRE — CHAPITRE XS.V,
Soient a b c Ils ttois points de 11 piemiere figure, situés su:' une même droite X, qui coincideal a\ec leurs homolngues respectifs a! , 1/ , c'. Il est évident qu un quatneme point quelconque d pus sur lu même droite, coïncide avec son homologue d , puisque les deux séries de tjuatre points ont le même iippoit anhaimonique (51*1)
Il résulte de là que deux droites homologues quelconques dans les deux figures se rencontrent sur la droite X. Par conséquent, pour que les deux figures soient homologiques, il sufUt que les points homologues soient deux à deux S.UI des droites concouiantes en un même point (528)
S lent a a' deux pnmts homologues, h dioite au lencontre I ixe X en un point « dins lequel tomcident deux points homologues comme il ^ ient d elre dit Pir conséquent, les deux dioites aa. et « f sont deux dtoites homjlogues coïncidentes Soient paieiUement b l deux Tuties points homologues et f le point ou h dioiie bb lenconlie 1 i\e X, les deux dioites Sb 6b sont deux dioites homologues coïncidentes Le point S, intersection des deux dioites au bb , est un heu de colncideuce de deux points homologues cai comme appaitentnt a h piemieie figure il est I intersection des deux dpoitesaa, l^ et considère comme appiitenmtà h seconde figure il est 1 intersection des deux dioites homologues a a, b S Le point S jouissant iinsi, de même que chacun des points de la dioite X, de la piopriele d etie un lieu de coïncidence de deux [loints homologues des deuï figures, il s ensuit que toute dioite menée pii ce point â->n% l'une des deux figues est elle-même son homologue lins I lutie en d lutrcs teimes h drjite qui jimt deux piinis homologues pjsie pir le points. Donc lis deux figure-i sont honiologiques
Obse/vaiion. — Le théorème et la démonstration s'appliquent au cas où le centre d'homologic S est à l'infini.
575. Quand deux figures sont liomologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles autour de l'axe d'homologie de manière à faire coïncider de nou- \-eau son plan avec celui de l'autre figure, les deux figures, dans leur nouvelle position i-elalîve, seront encore Tiomologiqucs, mais leur centre d'homologie sera différent.
Cela résulte évidemment du théorème précédent.
576. Quand, dans deux figures homograpkiques, trois droites de la première passant par un même point coïncident avec leurs homologues respectives, il en est de même de toutes les autres droites menées par ce même point, et les deux figures sont komologiques.
En effet, soient SA, SB, SC les trois droites de la première figure, pas-
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