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puisque deux points homoioguet. sont toujouis en li^ne dioite avec le point S, on en conc'lut que tous les points de la droite «S sont eux-mêmes leurs homologues. 11 s'ensuit que deux droites homologues quelconques renconti'ent cette droite aS aux mêmes points; ce qu'il fallait prouver.

577. Quand cleuj: figures sont bomologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles dans son plan autour du centre d'homologie, après une rotation de iSo" les denjc Jîgures seront encore Iwmologiques, mais avec un a.xe d'homologie différent.

Cela résulte immédiatement du théoi-èrae précédent.

578. Deux figures komograpkiques de construction générale peuvent toujours éti-e placées de manière à former deux figures homologiquas.

Hous disons que les deux figures sont de construction générale, pour exclure le cas où elles auraient un système de deux droites homologues coïncidentes à l'infini, comme nous l'avons vu (54-4). Ce ciis, en ce qui concerne la question actuelle, sera traité plus loin (58'i-).

Démonstration, — Qu'on détermine dans la première figure la droite 1 correspondante à l'inSni de la seconde, et dans la seconde la droite J' correspondante h l'infini de la première (513); concevons que les deux figures soient placées de manière que ces deux droites soient parallèles.

Un point quelconque e de la droite I a son homologue dans la seconde figure situé à l'infini; par conséquent, toutes les droites passant par le point e ont leurs homologues parallèles entre elles, et l'on peut déterminer

SjM TRAITÉ DE GEOSIETItlE StIPËItlEURE. — CHAPITRE XXV.

leui' direction. Que l'on mène pur le point e, dans lit premièi'e figure, une di'oite E pni'allèle à cette direction, et soit E' la droite correspondante dans la seconde figure ; les dens droites E et E' sont parallèles entre elles.

Par un autre point / de la droite I, on mènera de même une autre droite 1' parallèle à son homologue F'. Soient S le point d'intersection des deux droites E, F, et S' celui des deux droites E', F'; on placera la seconde figiu'c de manière que les deux points S, S' coïncident, ainsi que les deux droites E, E' et les deux F, F'. Alors les deux figures seront homologiques et leur centre d'homologîe sera le point S.

En effet, \<\ droite menée par le point S |jarallèlement aux deux droites I et J', considérée comme appartenant & la |»remière figure, est elle-même son homologue dans la seconde figure, ]>arce que deux points homologues coïncident en S, et que le point situé à l'infini sur la droite est aussi luimême la réunion de deus points homologues dans les deux figures (513). Mais les deux droites homologues E, E' coïncident, et de même les deux F, F'. Donc, d'après te théorème (576), les deux figures sont hOmologiques.

Autrement. Après avoir déterminé dans les deux figures les deux droites I et J', que l'on mène par deux points homologues n, a' des droites parallèles à ces deux-là respectivement, lesquelles seront homologues (513), et qu'on prenne sur ces droites deux points homologues fr, b'. Puis, que l'on détermine les deux droites homologues a S, a'S' qui font des angles égaux avec les deux ah,a'b' respectivement (153), et sur ces deux droites les

deux points homologues S, S' tels que le rapport —^, soit égal i -^ (');

qu'on superpose les deux droites aS, a'S' en faisant coïncider les points S, S', les deux figures seront homologiques.

Si l'on veut déterminer directement dans chaque figure la position de la droite qui devient l'axe d'homologîe, on cherche sur les droites a S, «'S' les points homologues «, «' tels que S«^S'«' (133). Ces deux points iippartiennent aux droites cherchées.

Amsi l'on peut, sans dépkcer les figures, déterminer dans chacune le point et la droite qui deviennent le centre et l'axe d'homologie.

579. Remurque. — Ces deu\ dioites homologiies qui, superposées,

(') Soient i el j' les points où les deuiL droilus a S, a'S' peu 3' rcflpectiïemeiiti les deui points S, S' seront déterminés par

FIGUBES HOUOGRAPHIQIJES. 37g

forment l'uxc d'homologie sont divisées par leurs points homologues en parties égales. Ainsi se trouve démonli'ce cette proposition énoncée préccdemment [513), savoir que : Dans deux figures homographiques [de constructivit générale) il existe toujours deux droites homologues qui sent divisées en parties égales par leurs points homologues.

Si l'on considère les deux points S, S' des deux figures (jui, superposéeSj forment le centre d'homologie, on peut dire qu'i^ existe toujours dans les deux figures deux faisceaux homologues égaux et superposables.

580. Deux figures homographiques étant rendues homologiques, si l'on fait tourner l'une d'elles autour de l'axe d'homologie, elles deviendi^nt en perspective (528). Ainsi :

Deux figures homographiques de construction générale pewent toujours être placées de manière à être la perspectiiie l'une de l'autre.

581. Nous avons vu que deux quadrilatères dont les sommets se correspondent deux à deux peuvent être considérés comme ap[jartenaat à deux figures homographiques (516); par conséquent, le problème que nous venons de résoudre relativement à deux figui'es liomographiques doit s'entendre de deux quadrilatères. Ainsi :

Deux quadrilatères quelconques [qui ne sont pas tous deux des parallélogrammes] dont les sommets se correspondent deux à deux peuvent toujours être placés, dans leur plan commun, de manière à être homologiques ; c'est-à-dire de manièiv que leurs sommets soient deux à deux sur quatte droites concourantes en un même jioint, et que leurs côtés homologues se coupent deux à deux en quatre points en ligne droite.

£t les deux quadrilatères peuvent toujours être placés de manière h être la perspective l'un de l'autre.

Hous disons que les deux quadrilalères ne doivent pas être tous deux des parallélogrammes, parce que dans ce cas ils appartiendraient à deux figures homographiques de construction partictdière dont il va être question ci-dessous.

582. Puisque deux figures perspectives l'une île l'autre sont deux figures homographiques et que, réciproquement, deux figures homographiques peuvent être mises en perspective, on en conclut que, quand on fait diverses perspectives A', A", . . . d'une même figure A sur des plans différents et avec des positions de l'ïeil différentes, deux quelconques de ces figures peuvent être placées en perspective.

3So TRAITÉ DE GÉOHÉTRIB SUPÉRIEtinB. -

V. — figure.': homographiques dans lesquelles il existe deux droites homologues à l'infini,

S83. Quand les droites à l'infini, dans deax figures homographiques, sont homologues, par ehaque point de l'une des deux figures on peut mener en général deux droites telles, que chacune d'elles et son homologue dans l'autre figure seront divisées en parties égales par leurs points homologues.

Ces deux droites peuvent être imaginaires.

En effet, prenons deux points homologues O, O' et considérons dans la première figure un cercle ayant le point 0 pour centre. Aux points de ce cercle correspondront dans la seconde figure les points d'une ellipse. Cette ellipse aui-a deux demi-diamètres 0'«', O' b' égaux au rayon du cercle. On cherchera les deux points a, b du cercle correspondant aux deux points a', b' de l'ellipse. Les deux droites 0«, O' a' satisferont à la condition demandée, savoir d'être divisées en parties égales par leurs [Kiints homologues (545). Il en est de même des deux droites Ob, 0' b' . Ainsi le théorème est démontré.

Il est clair que les droites menées |iar deux points homologues ([uelconques P, V parallèlement soit aux deux Oo, 0'«' respectivement, soit aux deux Ob, 0' b' , seront aussi divisées en parties égales (546).

Mais il faut observer que les deux demi'diamètres O' a', 0' b' de l'ellipse peuvent être imaginaires, et alors les deux systèmes de droites divisées en parties égales n'existent pas.

584. Étant données deux figures homographiques dan.^ lesquelles deu.r. droites homologues coïncident à l'infini, placer l'es deux figures de manière qu'elles soient homologiques.

Soient 0, 0' deux points homologues; on cherchei'a les deux droites Oa, Ob auxquelles cori'espondenl deux di"oites O'a', 0' b' telles que les deux Oo, O' a' soient divisées en parties égales par leurs points homologues, ainsi que les deux 06, O' b' . On fera coïncider les deux droites Oa, O'a'; et, dans cette position, les deux figures satisferont à la question , c'est-à-dire que toutes les droites qui joindront les points de la première à leurs homologues respectifs concourront en un même point, lequel sera situé à l'infini. Cela résulte du théorème (574).

Si l'on veut déterminer a priori la direction de ces droites parallèles, il suffît de chercner les deux droites homologues qui, menées par les deux points O, O', font des angles égaux avec les deux Oa, 0' a' (153).

Ce que nous disons des deux droites Oa, O'a' doit s'entendre des deux

FIGURES HOMOGBAPHIQVES. 38l

O 6, 0' *' ; de sorte que la question ailmet en généra! deux solutions, lesquelles peuvent être imaginaires.

585. Quand deux figures homologiqoes ont leur centre d'homologie à l'infini, si l'on fait tourner l'une d'elles autour de l'axe d'homologie, les droites qui joignent ses points aux points homologues de la figure fixe resteront toutes parallèles entre elles. Car, deux droites aa' , bb' [fig. 126} qui joignent deux points de la première figure à leurs homologues étant parallèles, les deux triangles «ya', byh' ont leurs côtés proportionnels, et conséquemment, quand la droite ya' b' tourne autour de l'axe d'homologie 7X et prend la position '/a"b" dans l'espace, les deux triangles aya", byb" sont semblables et leurs côtés aa" , bb" sont parallèles. Dans cette position, les deux figures sont la projection l'une de l'autre,

586. Quand deux figures homographiques ont deux droites homologues à l'infini, UD parailélog-ramme dans l'une a pour homologue un parallélogramme dans l'autre {544>]. La question précédente comprend donc la solution de eel!e-ci :

Étant donnés deux parallélogrammes, les placer de manière que l'un soit la projection de l'autre.

Cela pourra n'être pas possible (584), mais la question suivante sera toujours résoluble :

Étant donnés deux parallélogrammes, en projeter un sur an plan de manière que sa projection soit semblable à l'autre.

Ah lieu de deux parallélogrammes, on peut ne considérer que les deux triangles homologues retranchés par deux diagonales correspondantes. Alors on résout ce problème :

Étant donnés deux triangles, en projeter ui soit semblable au second.

SUPERIEURE. — Cd.VPITRR XWT,