CHAPITRE XXVI

THÉORIE DES KrGUlinS COREÉLATIVES,

^ I. — Définition et construction des figures corrélativea.

587. J'appelle figures corrélatives deux figures dans lesquelles à des points de l'une correspondent des droites dans l'autre, de manière qu'à des points en ligne droite correspondent des droites passant par un même point, avec cette condition que le rapport anbarmonique de quatre points soll égal à celui des quatre droites correspondantes.

Puisque, à des points situés en ligne droite dans la première figure correspondent des droites passant par un même point dans la seconde, ce point correspond à la droite lieu des points de la première figure; de sorte qu'on peut dire que les deux figures sont telles, qu'à un point et à une droite dans l'une correspondent respectivement une droite et un point dans l'autre.

588. Les figures supplémentaires tracées sur la splièrc ont des relations de construction analogues à celles des figures corréla~ tives; car à un point de l'une correspond un arc de grand cercle dans l'autre, de manière qu'à des points situés sur un arc de grand cercle correspondent des arcs de grand cercle passant par un même point; el le rapport anharmonique de quatre de ces points est égal à celui des quatre arcs de grands cercles correspondants.

Avec ces figures sphériques on forme immédiatement des figures planes corrélatives, car il suffit de faire passer par deux figures supplémentaires deux cônes ayant pour sommet commun le centre de la sphère ; les sections des deux cônes par un plan ou par deux plans différents sont évidemment deux figures corrélatives.

IL — Cniutrnction des figures coirékithes,

589. Etant pris un triangle A^C {fig- 127) dans le plan d'une jigure. si de ses deux sommets A, B on mène à chaque point m de la Jigure les droites Am, Bm qui forment sur les côtés op-

,11 j pB "A 11 j ,

poses les deux rapports de segmeitis tt;> — t;! puis que l ou détermine sur les côtés A'C, B'C d'un second triangle quelconque A'B'C deux points a', h' formant deux rapports de segments tels que l'on ait les relations

X et fi étant deux constantes, la droite a'b' appartiendra à une figure corrélative de la proposée et correspondra dans cette Jigure au point m de la première.

Démonstration. — Il s'agit de prouver : 1° que, quand des points m sont en ligne droite, les droites correspondantes a'h' passent par un même point ; 2° que quand des droites passent par un môme point, dans la première figure, les points auxquels elles donnent lieu, dans la seconde, sont situés en ligne droite ; 3" qiie quatre points en ligne droite, dans la première figure, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes; et 4" enfin, que quatre droites passant par un même point dans la première figure ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent dans la seconde figure.

I. Quand des points m sont en ligne droite, on a, entre les deux

aC bC , , . , . , ,

rapports — > j-~f la relation du premier degré

On a donc entre les deux rapports -r- et 77T-, la relation

équation qui prouve que la droite <i'&' passe par un point fixe (432).

384 TRAITÉ

II. Une droite L étant donnée dans la première figure, le point /' qui lui correspond dans la seconde est le point par lequel passent les droites correspondant aux points de la droite L.

Donc quand plusieurs droites L passent par un même point, les points qui leur correspondent se trouvent sur une même droite, laquelle est la droite correspondante à ce point.

III. Quand quatre points m sont en ligne droite, leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre droites qui leur correspondent. En effet, les quatre points m étant en ligne droite, leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre points a; or, d'après la première des relations (i), celui-ci est égal à celui des quatre points a'; mais ce dernier est égal à celui des quatre droites a'b', puisqu'elles passent par un même point.

IV. Quatre droites L de la première figure, passant par un même point, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent dans la seconde. En effet, les quatre droites ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a où elles rencontrent le côté AC; celui-ci est égal à celui des quatre points a', lequel est égal à celui des quatre points l' qui correspondent aux quatre droites.

Ainsi la proposition est démontrée dans toutes ses parties.

Observations. — Au point a de la première figure correspond, dans la seconde, la droite B'a'. Cela résulte des équations (i);car, si le point ?n est en a sur AC, on a 6C = o, et par conséquent A'B'^ o, de sorte que la droite a'b' passe par le point B'. Pareillement, au point & correspond la droite A' Ô'; par conséquent, à la droite ab correspond le point /', intersection des deux droites B'a', A'b'.

Il s'ensuit qu'aux deux droites Ai, B« correspondent les deux points b' et «'; et l'on en conclut qu'aux trois droites AC, BC et AB correspondent les trois points B', A' et C, et, par conséquent, qu'aux trois points A, B, C correspondent les trois droites B'C, A'C, A'B'.

Puisque, à la droite ab correspond le point /', nous pouvons dire que la droite qui, dans la première figure, correspond à un point de la seconde, se construit par les équations (i), qu'on peut écrire a'A' j «G b^ bC

C'est-à-dire que la droite corrélative d'un point se construit par des formules semblables, et avec les mêmes coefficients, dans les deux figures.

590. A tous les points situés à l'infime dans une des deux figm-es, correspondent des droites passant toutes par un même point.

En d'autres termes ; A l'infini, dans une figure, correspond un point dans l'autre Jîgure.

En effet, si un point m est à l'infini, les deux droites Km, B;ra sont parallèles, et l'on a

:^+îs = . (480,,.),

équation qui prouve que la droite a'V, correspondant au point m situé à l'infini, passe par un point fixe (452). Donc, etc.

591. Aux points situés sur la base AB dans la première figure, correspondent des droites passant par le point C dans la seconde figure. Ainsi, à un point g- [fig. 128) correspond une droite C'g-', et, réciproquement, au point g' de la seconde figure correspond la droite C^ dans la première. Il existe entre les deux points^, g' la

j-k^ l g'-R' gB a g' A''

En effet, à un point m situé sur la droite Cg correspond une droite a'b' qui passe par le point g', puisque celui-ci correspond à la droite Cg.

Les trois droites qui passent par le point w, dans le triangle ABC, donnent la relation

gti ciA ÙC

386 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE StJPÉBlEL'HE. — CIIAPITRIÏ XXVI.

qui devient, en verlu des équations (i),

gB'l 7(7*'" i'S' ~

Mais, les trois points g', a', V étant en ligne droite, on a triangle A'B'C,

592. Les deux eonstantes i et fi seront déterminées si l'on donne, dans la seconde figure, la droite ou le point qui doit correspondre à un point ou une droite de la première figure. Cela est évident.

Il s'ensuit que la proposition (589) implique le mode de construction des figures corrélatives dans les deux cas où l'on donne, dans la figure que l'on veut former, les qiiatre points qui doivent correspondre à quatre droites de la proposée, ou trois points et une droite devant correspondre à trois droites et à un point de la figure proposée.