FIGURES CORRÉLATIVES

gînaires) tels, que leurs droites corrélathes passant par cen points eux-mêmes, respectivement.

Et, par un point on peut m,ener, en général, deux droites [réelles ou imaginaires) passant par leurs points corrélatifs respectifs.

598. Considérons quatre points en ligne droite «, b, c, m dans la première figure et les quatre droites correspondantes A, B, C, M dans la seconde ; on aura

La quantité entre parenthèses est constante quel que soit le point m; écrivons donc

bm~ sia(B,M)

Si l'on conçoit dans la première figure une droite passant par le point 77Ï, le point corrélatif dans la seconde figure sera sur la

droite M, et . , ';-j sera le rapport des distances de ce point aux sin[B,M} '^'^ ^

deux droites fixes A, B. L'équation exprime donc que ;

Etant pris deux points fixes a, b dans une figure et les deux droites correspondantes A, B dans la figure corrélative, le rapport des segments faits par une droite quelconque de la première figure sur ab sera au rapport des distances du point qui correspond à cette droite aux deux droites A, B dans une raison constante.

599. Le rapport des segments faits sut ah par une droite est égal au rapport des distances de cette droite aux deux points «, b. De sorte qu'on peut dire que :

Etant pris deux points fixes dans une figure et les deux droites correspondantes dans la figure corrélative, le rapport des distances d'une droite quelconque de la première figure à ces deux

3((0 TRilITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XXVI.

points sera au rapport des distances du point correspondant de la seconde figure , aux deux droites fixes, dans une raison consta/ite.

600. Dans ce théorème, l'une des deux di-oites fises peut être à l'infini, et la distance d'un point à celte droite disparaît de l'équation comme si elle devenait égale à l'unité, ainsi que nous l'avons vil souvent. Il en résulte que :

Etant données deuxjlgures corrélatives, la distance d'un point quelconque de l une à une droite jixe est au rapport des distances de la droite correspondante dans l'autre, aux deux points fixes dont l'un correspond à la droite jixe et l'autre à l'injini de la première Jigure, dans une raison constante.

601. Dans le lliéorcme (599), on peut supposer le point b à l'infini ; le segment bm disparaîtra et le premier membre de l'équation sera simplement ain. Donc :

Quand, deuxjigures sont corrélatives, le segment (ju une droite quelconque de la première Jait sur un axe à partir d'un point jixe est au rapport des distances du point qui correspond à cette droite dans la seconde jigure, aux deux droites correspondant au point jixe et au point situé à l'infini sur l'axe de la première figure, dans une raison constante.

602. On peut prendre pour le point fixe de la première figure le point qui correspond à l'infini de la seconde; la distance d'un point de la seconde figure à cette droite située à l'infini disparaît de l'équation, et l'on a ce théorème :

Dans deux figures corrélatives, étant pris le point 1 de la première qui correspond à l'infini de la seconde, et étant mené par ce point un axe fixe, puis étant prise, dans la seconde, la droite qui correspond au point de la première situé à l'infini sur cet axe, le segment qu'une droite quelconque de la première jigure jeta sur l'axe fixe à partir du point I sera à la valeur inverse de la distance du point correspondant, dans la seconde figure, à la droite fixe correspondant à l'iijini de l'axe fixe, dans une raison constante.

FIGirRES GORRELITIVES.

■ Nom'elle définition des figiii

603. D'après le théorème (599), on peut donner cette définition des figures corrélatives :

On appelle figures corrélatives deux figures telles, qûaux points de l'une correspondent des droites dans l'autre, de manière que les rapports des dislances de chaque point de la première figure à trois droites fixes soient aux rapports des distances de la droite correspondante à trois points fixes dans des raisons constantes .

Cette définition, qui a toute la précision mathématique désirable, puisqu'elle n'implique aucune condition superflue, se prête néanmoins sans grande difficulté à la démonstration des cqua~ tions (i) et des diverses propriétés des figures corrélatives.

60i. Cas divers. — On peut prendre l'une des deux droites fixes de la seconde figure à l'infini; la dislance d'un point à cette droite disparaîtra des relations entre les deux figures, comme si cette distance était devenue égale à l'unité.

De même, on peut supposer que l'un ou deux des trois points fixes dans la première figure soient à l'infini dans des directions données. Alors on substituera au rapport des distances d'une droite à deiix points le rapport des segments que cette droite fait sur celle qui joint ces deux points, et, si l'un de ces points est à l'infini, le segment qui s'y rapporte disparaîtra de l'équation, comme s'il était devenu égal à l'unité.

Ainsi, par exemple : Si les distances d'un point à deux axes fixes sont proportionnelles respectivement aux segments faits par une droite sur deux autres axes fixes quelconques, à partir de leur point de rencontre, le point et la droite appartiendront à deux figures corrélatives.

§ III. — Expression analytique des figures corrélatives.