AX" + BY
- b"y + 1 ' AX'" -f ?. et fJi étant deux constantes déterminéef
FIGURES COBRELATIVES.
De ces deux équations on tirera les valeurs de A eL B, et oi les substituera dans l'équation de la droite. Ces valeurs sont de 1 forme
L'équaUon de la droite est donc
-ej + 7)x-i
Ainsi : Quand deuxjtgures sont co7-rélatives, l'éguation d'une droite dans l'une des figures contient au premier degré les coordonnées du point correspondant à cette droite dans l'autre figure.
606. Rèciphoquement : Quand l'éijuation d'une droite contient au premier degré les coordonnées d'un point, si ce point est mobile et décrit une figure, la droite enveloppera une figure corrélative.
En effet, soit
V)XH
l'équation de ia drolle M dont les coordonnées courantes, rapportées à deux axes OX, OY, sont X et Y, et dans laquelle x, y sont les coordonnées d'un point variable appartenant à une figure donnée, coordonnées relatives à deux axes ox, oy qui peuvent être différents des deux OX, OY, on les mêmes.
La droite M fait sur les deux axes OX, OY deux segments dont les valeurs sont
Or ces quantités sont proportionnelles aux rapports des distances du point {x,y) à trois droites fixes ajanl pour équations
H.E -i- ë ï- 4- ï ^ o, a' X -\- ê'j- -i- •/' ^ o, «'ic -h S" 7 -1-7"= 0.
3g4 TB.MTÉ DE GÉOMÉTRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XXVI.
Donc, d'après (60i), quand le point (j7,j) décrit une figure, la droite M enveloppe une figure corrélative dans laquelle le point O, intersection des deux axes OX, OY, correspond à la droite qui a pour équation
et les points à l'infini, sur ces deux axes, correspondent aux deux droites qui ont pour équations
607. Il serait facile de démontrer direetement, au mojen de l'équation de la droite mobile, que la figure enveloppe de celte droite jouit, par rapport à celle que décri t le point {x,;j'), de toutes les relations qui ont lieu entre deux figures corrélatives. Par exemple, démontrons que, quand le point fa', y) décrit une droite, la droite M passe toujours par un mfime point.
Soit
l'équation delà droite décrite parle point {x,j'). L'équation de la droite M se met sous la forme
On voit immédiatement que le point dont les coordonnées X, Y sont données par les deux équations
«X -i-'^' Y + «" = L (7X -t- /T H- ■/'], ex H- Cl + è"=M{yX-h-/Y -h y")
est situé sur cette droite; en effet, ces coordonnées satisfont à son équation, car elles la ramènent à
équation identique, puisque l'on suppose que le point {x,y) décrit la droite représentée par cette équation. Donc, quand le point {x,j) décrit une droite, la droite M passe par un point fixe.
FIGURES C011H1ÏL\T1VES.
§ IV, — Propriétés des figures corrélatiTes.
608. Quand trois points A, B, Q. d'une figure ont chacun pour droite correspondante dans la figure corrélative la droite qui joint les deux autres.
Ces trois points, considérés comme appartenant à la seconde figure, ont pour droites co/Te/atifes dans la première les mémos droites;
Et il en est de même de tout autr,e point, c'est-à-dire que tout point, étant comidéré comme appartenant successivement aux deux figures, a la même droite corrélative dans les deux cas.
En effet, A, B, C {fig- i3o) sont, par hypothèse, trois points de la première figure, et les trois droites BC, CA, AB sont les droites correspondant à ces points, respectivement, dans la seconde figure. Donc le point A, considéré comme intersection des deux droites AB, A(j de la seconde figure, et par conséquent comme point appartenant à cette figure, a pour droite corrélative dans la première figure la droite BC qui joint les points C et B, qui dans la première figure correspondent aux deux droites AB, AC de la seconde. Ainsi la première partie du théorème est prouvée.
Soit un point m de la première figure; on détermine la droite correspondante dans la seconde figure en menant les deux droites inA, mB et en prenant
a'h' est la droite cherchée.
Si le point m est considéré comme appartenant à la seconde figure, on détermine la droite correspondante aB de. la première par les formules
Donc
hC
aC fi'C
ei!
, Ohscrv.].
Donc les points a, ê coïncident avec a', b'. Donc la droite a' l>' est
- cnAPITBË XXVI.
la droite correspondant a» point m de la seconde figure; ce qui prouve la seconde partie du théorème {').
609, Quand on adeiis figures corrélatives placées d'une manière quelconque dans un nicnie plan, si l'on considère chaque point m de ce plan comme appartenant successivement aux deux figures, il lui correspond deux droites dans les deux figures respectivement. Si le point j?i décrit une figure quelconque, les deux droites envelopperont deux figures homographiques entre elles.
Car i! est évident que ces deux figures auront entre elles toutes les relations qui caractérisent les figures homographiques.
