FIGURES CORRÉLATIVES

points dont chacun a In incme di-oite corrélative dans les deux figures.

Deux de ces points peui-ent être imaginaires, mais le troisième est toujou/'s réel.

6i2. Etant données deux figures corrélatives, les points de la première t/ui jouissent de la propriété que les droites qui leur correspondent dans la seconde Jîgure passent par ces points euxmêmes (597) sont situés sur une courbe du deuxième ordre, et ces droites enveloppent une courbe de deuxième classe.

En effet, d'après le théorème (597), la courbe lieu des points en question sera telle, qu'une droite la rencontrera toujours en deux points (réels ou imaginaires); ce qui prouve qu'elle est du deuxième ordre; et la courbe enveloppe des droites correspondant à ces points est telle, que par un point on ne peut lui mener que deux tangeiiies (réelles ou imaginaires) ; ce qui prouve que cette courbe est de deuxième classe (SOI ).

613. Placer deux Jigures corrélatives données de manière que chaque point de leur plan, considéré comme appartenant à l'une ou à l'autre, ait la même droite corrélative dans les deux cas.

II suffit, d'après le théorème (608), que cette condition ait lieu pour trois points du plan des deux figures.

Soient O {Jig- i3i) le point de la première figure qui correspond à l'infini de la seconde, et iî' le point de celle-ci qui correspond à l'infini de la première figure.

Soient les droites A, B, ... passant par le point O dans la première figure, m, n, ... leurs points à l'infini. A ces points correspondent dans la seconde figure les droites M', N', . .. passant par le point Q'; et aux droites A, B, . . . correspondent les points «', y , ... situés à l'infini sur ces droites M', K', ... (Ces points sont à l'infini parce que les droites A, B, . . . passent par le point O ; et ils sont sur les droites M', N', . . . parce que les droites A, B, . . . passent par les points m, n, . . , ).

Quatre droites M', N', ... ont leur rapport anharmonique égal à celui des quaU-e points m,n, ..., et par conséquent à celui des

SgS TIIAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHVPITRE XXVI.

quatre droites A, B, .... Donc les droites A, B, ... et les droites M', N', , . . forment deux faisceaux Jiotnographiques.

Les deux droites A et M' qui se correspondent dans ces deux faisceaux étant prises arbitrairement, on cherchera les deux B et N' qui font avec A et M', respectivement, des angles égaux (153), et l'on placera les deux faisceaux de manière que N' et M' coïncident respectivement avec A et B, et par conséquent « et m avec a' et V . Alors chacun des trois points m, n, O aura pour droite corrélative dans les deux figures la droite qui joint les deux autres. Par conséquent, tout autre point du plan des deux figures aura la même droite corrélative dans l'une et dans l'autre. Ainsi le problème est résolu.

Observation. — Cette question et surtout celle oii il s'agit de placer en perspective deux figures homographiques (o78) ou simplement deux quadrilatères quelconques présenteraient des difficultés de calcul si l'on voulait les traiter par l'analyse, c'est-à-dire parla doctrine des coordonnées. La Géométrie, au contraire, qui a dû entrer dans le détail des propriétés înlimes des figures, y a trouvé tous les éléments nécessaires pour la solution des deux questions.