CHAPITRE XXVII

)E8 APPLICiTlOSS BE LA THËOHIE DES FIGURES UOMOGRAPIIIQUES, ET 1 CELLE DES EIGURES COR RELATIVES, REGARDÉES COMME HËTHODES DE I) MONSTHATION.

§ I. — Considérations sur l'usage des deux méthodes. Principe de dualité.

6H'. La théorie des figures homographiques offre une métliode pour transformer une figure en une autre du même genre et appliquer à celle-ci les propriétés de la première, comme on fait par la perspective et !a pi'ojection d'une figure plane. Ainsi, par exemple, on change un quadrilatère de forme quelconque en un parallélogramme, une section conique en un cercle, même avec certaines conditions relatives aux autres parties de !a figure ; plus généralement une section conique en une autre, de manière qu'à deux points donnés dans l'intérieur de la première correspondent dans la seconde des foyers de celle-ci, etc. Ces transformations donnent le moyen d'appliquer à une figure les propriétés d'une figure plus simple et de généraliser ainsi des vérités connues ; ou bien, un problème étant proposé à l'égard d'une figure, on cherche à le résoudre sur la plus simple des figures transformées.

61 5. Les figures corre'Iatives ont un tout autre caractère. Avec une figure donnée, on en forme une seconde qui est, en général, d'un genre différent, puisqu'à des points de l'une correspondent des dinites dans l'autre, et réciproquement. Aux propriétés de la première figure correspondent des propriétés de la seconde, qui dérivent des premières, en vertu des relations générales qui ont lieu entre deux figures corrélatives.

De là résulte une dualité constante dans les théorèmes' de Géométrie plane, nous pouvons dîi-e dans les propriétés de l'étendue en général, car cette dualité a lieu aussi dajis les figures à trois dimensions, où ce sont des plans qui correspondent à des points et des droites à des d]-oiles [ ' ) ,

40O THAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉBIEUftE. — CHAPITRE XXVII.

616. C'est la théorie des pôles daos le cercle et Jes sections coni(|ues qui a donné lieu à ces transfor malions de figures et à l'idée d'une dualité permanente en Géométrie. On a d'abord fait quelques usages partiels de cette correspondance entie ua. po nt et h du ite i p pelée /lo/aoe dans les sections coniques; c est iinsi, pu e^temple que BtiinchoQ a conclu du théorème de Pascal snr 1 hexaç,one tnsLiit i «ne conique son beiu théorème sur l'hexagone circonsciit II suffisait de lenniquer que les i>ùles des côtés de l'hexagone mscrit sont les sommets d un hexigone cit consent. Mais c'est PonceJet qui a montte le piemier que dans ces faciles procédés de démonstiation se tiou^ait une méthode geneiaie qui pouvait s'appliquera une foule de piopuetes de 1 étendue pirlicuherement i toutes les propriétés descriptives, méthode qu'il a appelée Théorie des polaires recipioques (*). Quelques géomètres ont ensuite eu l'idée d'an principe de dualité; toutefois, il faut observer que la méthode de Poncelet, la Théorie des polaires réciproques, était la seule qui servît alors aux transformations et par laquelle on pût ju.stilier ce principe de dualité.

Cependant il existe divers autres procédés particuliers de transformation, constituant des théories analogues à celle des polaires et donnant lieu de même au principe de dualité (*).

Mais ces divers procédés particuliers, que nous n'avons point à étudier ici, sont compris soit dans la théorie analytique des figures corrélatives (605) étendue aux trois dimensions ('), soit dans le mode de consti-uction générale de ces figures, qui n()us a conduit au développement de leurs propiiétés et à la solution de cette question : Étant données quatre dmites qui douent correspondre à quatre point» désignés d'une figuie, construire la figure corrélative; question qui implique le point de vue le plus général sous lequel on puisse considérer les figures corrélatives.

017. On peut reniarquer des exemples continuels de la dualité dont nous parlions tout à l'heure dans les diverses théories et les propositions isolées que renferme cet Ouvrage.

Ainsi, aux divisions homographiques sur des droites correspondent des faisceaux homographiques, et les propriétés relatives à ces faisceaux se peuvent conclure de celles des divisions.

Aux côtés et aux diagonales d'un quadrilatère correspondent les sommets

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{') Mémoire de Géométrie sur deux principes généraus, lu Dualité et l'Huiiiogra phie {Jjierçu liittorique, etc., p. 5;5-694).

m' H E DE TRANSFOnUATIOK. ioi

et les p n d n d 6 es opposés du quadrilatère corrélatif; aux

sis poi d n I <! 1 n nsversale rencontre les quatre côtés et Jes deux d go al d p n qujdrîlatère correspondent, dans le second, les sis d o n n d même point à ses sommets et aux points de concouibde ses cf tes opposes, les six points du premier quadrilatère sont en involulion ; donc les sis droites du second sont aussi en involutton. Et ainsi de la plupart des autres théorèmes.

G18. Il serait donc possible de conclure, en vertu de celte dualité constante, une moitié à peu près de nos propositions de l'autre moitié, sans nouveaux frais de démonstration.

Toutefois nous n'avons pas procédé de cette manièiC; il faut en dire ici le motif.

§ II. — Pourquoi l'on ne fait pas usage, dans le cours de cet Ouvrage, des méthodes do transformation.

019 Cininie nous venons de le dire, les méthodes de transformation qui constituent des theoiies an'ilogues il celle des pôles et des polaires ont conduit 1 1 idée du piinci[e de dualité en Géométrie. Ces méthodes de transformition srnt commodes pour déduire d'un théorème déjà connu un autre theoieme ou, plus généralement, d'une théorie déjà connue une autre théorie Mais dans un Ouvrage qui a pour hut le développement systématique des diffeienles pjilies de la Géométrie, il faut faire pénétrer le pimupe de dudile dins les cléments mêmes et donner des méthodes geneiales qui soient également propres à démontrer deux propositions corleldtives Ccst ce que ncus avons fait ici; et l'on remarquera que Je principe de dualité apparaît dès les commencements dans la considération du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite d'une part et de quatre droites concourantes d'autre part. On pourra ainsi, dans tout le cours de l'Ouvrage, suivre le développement des propositions corrélatives, comme nous l'avons déjà dit [617).

Nous avons, de cette façon, formé un ensemble de propositions constituant, par leur enchaînement naturel, des théories et un corps de doctrine susceptibles d'applications fécondes dans toutes les parties de la Géométrie.

Il nous a fallu démontrer directement chacune de ces propositions, les

unes au moyen des autres, j)ar les propres ressources que peuvent offrir

les théories auxquelles elles se ra|)portent. C'était une condition à laquelle il

fallait s'astreindre pour constiluer ces théories, et cette marche paraît d'au-

CaAsi.Es. — Céom. nia. 26

402 TRAITÉ DE GEOMETRIE SUPERIFUnE — CHAPITRE XXVII.

tant plus nécessaiie que, on gênerai il ne suffit pas de savoir qu'une proposition est vraie pour qu on puisse en fine un usage utile en Mathématiques : i! faut encore conniitie toutes ses dépendances avec les diverses propositions qui se rattachent au même sujet. Quand cet encliaînement est mis à nu, tout devient ficile et il est même rare que l'on ne puisse pas démontrer une même proposition di, bien des manières, car on y arrive pai' toutes celles qui h tcuihenl de quelque côté. C'est là un critérium qui ]ierniet d'appreciei jusqu i quel j oint on i pénétré dans le sujet que l'on traite et combien il peut encoie laisser i désirer.