Nous m

i fei on

s donc point us ^e

dans le cours de cet Oi

la théorie d fi

Tl

1 t Al"

d d U d fi

phiques, p

D'une

t'auti-e de

recte de c 1

des démon

ffi 1

dû ne pa f

actuel, e

l'avons di

En se,

f d di£Gcultés; m p 1 p 1 1 bl d 1 m ntrer

par les rcs 11 d j ta j | q nt pu

se conclu d tdd fm j le de

beaucoup desesq aeao dn idue

et fort [ir J œ 1 ] q 1

La thé des niq pe f d 1 reux

exemples p ] j fi 1 m 1 q m fforcé

de suivre ar bl nt D b I y d 1 [ oints

et leurs ta ^ ] | I d p is i J «ne

propriété l g M j q j p I t les

propriété 1 [ q I d p q elles

qui se prêtent le plus aisément aux applications de la Geometiie analytique, et l'on a négligé, en général, les [iropriétés relatives aux tangentes. Par exemple, on démontre d'une foule de manières le théorème de Pascal qui concerne six points d'une conique, mais on ne démontre qu( par une méthode directe le théorème de Brianchon q tangentes à une conique : on le conclut du théorème de Pascal. De même, on démontre directement les propriétés relatives à un système de coniques

passant par quati'c poinls, mus oi nt, dcmjiitre j is ftUcs d un svateme de coniques tangentes a quatre dioitea on les conilut des prenne! es pai ia théorie des polaires recipioques ou dts Iiguies cotrelatives Cependant les unes et les autres meiitenl, lu même titre une demonsliation, et cette démonstration, sans liqui-lle la science reste incomplète, impoite aux progrès de !a Géomelne

C'est dans ces vues que nous t^ons clieich i leunu dans cet Ouvrage tous les éléments necesaiiies pour h demonstiation dnecte des deux sottes de propriétés que nous venons de disUnguei dtns les sections ioniques et qui se retrouvent d ins toutes les luties parties de la Gcomeliie

622. Après avoir dit pouiquoi nous ivons dû. nous puver du sccouis des méthodes de transf Ji mation hJtons nous d aj )ute r que neJnmoms ces méthodes in génie u es qui ont eniichi h science d une foule de rentes dont on n'avait pas eu liJee aupjia^anl j>euvenl être fort utiles dins beiucoup de circonstances, et que le géomètre doit les connaître et le-i avoir i sa dis position. C'est pour cela que nous les ivons exposées dans tjutc la généralité et avec tous les développements theoiiques quelles nous ont piiu comporter.

Comme, à raison de cette généralité même et du point de vue abstiait sous lequel nous avons piesente ces méthode'; eWe'i diffetent dans leur conception, des piocedes pirticulicrs, tels que la peispective el la thpone des polaires réciproques dont om fut usage jus^u ici nous liions en fine diverses applications Plusieuis qui se (apporteront aux lelatijnsd angles, présenteront des résultats nouveaux londes sur li nctiondes d usions et des faisceaux homographiqiteà, que I on n i point enioie mtroduite dans ce genre de recherches

g ni. — Applications diverses des deux méthodes de transfonnation.

633. L'application des deux méthodes est toujours facile en ce qui concerne les relations descriptives des fignres, et nous n'avons à entrer à ce sujet dans aucun détail. Mais il n'en est pas de même des relations métriques, soit de segments, soit d'angles: ces relations peuvent présenter beaucoup de difhcultés, ou se refuser même à la transformation.

I, — Jransformation des relations de segments,

62V. Les dépendances générales entre deux figures homographiques, ou corrélatives, s'expriment par des rapports de segments, et non par de

4o4 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — C

simples segments. Par exemple, diins deux figures corrélatives, le rapport des distances d'un point quelconque de l'une à deux axes fixes est au rapport des distances de la droite corrélative, dans l'autre à deux points fixes, dans une raison constante (599). Ainsi, c'est le rapport de deux lignes dans une figure, que l'on compare au rapport de deux autres lignes dans l'autre figure ; et ce n'est point une ligne seule que l'on peut comparer en grandeur, d'une manière absolue, à une autre ligne. Voilà pourquoi la transformation des relations métriques présente, en général, des difficultés, et souvent n'est pas possible.

Si une expression proposée ne contient que des rapports de segments, tels que ceux qui entrent dans les dépendances générales des figures homographiqnes ou corrélatives, lu transformation se fait d'elle-même, sans aucune difficulté.

Quand une expression n'est pas transformable immédiatement, on cherche à lui donner uae forme plus favorable; et, pour cela, la marehe la plus simple et la plus sûre est de cherclier à y inti'oduire des rapports anharmoniques; ce qu'on fait en se servant, au besoin, des points à l'infini, et en changeant les origines des segments.

Hous allons donner divers exemples de ces transformations,

625. " Si une corde, dans un cercle, tourne autour d'un point fixe, la somme des distances de ses extrémités à une droite fixe prise arbitrairement, divisées par les distances des deux mêmes points à la pohiire du jioint fixe, reste constante (693). "

II n'entre dans cet énoncé que des rapports de distances qui se transforment immédiatement.

Faisant la figure homographique, qui est une conique, puisqu'elle pourid être mise en perspective avec le cercle, c'est-à-diie sur un même cône (580) , on conclut des relations générales entre deux figuies homon'raphiques (522) que la propriété du rcicle appartient aussi a une conique quelconque.

Et, par la théorie des figures corrélatives, celte même propriété du cercle donne lieu, en vertu des relati<ms ( 599 ) , au théorème suivant :

Si de chaque point d'une droite on mène deux tangentes à une section conique, la somme de leurs distances à un point fixe, divisées par les distances des deux mêmes tangentes au pôle de la droite, reste constante.

Il est bien entendu qu'on observe ici la règle des signes, comme nous l'avons toujours fait; de sorte que ce que nous appelons la somme est une somme algébrique qui peut devenir une différence.