METHODES DE
■ns/ormer homographiquement le rapport — de deux segments te même droite.
Soit/ le point sltaé à l'Infini s
r ly droite ab;
Le second membre se compose de deux rapports anharmoniques, et, par conséquent, est transformable; on a donc, en désignant par les mêmes lettres accentuées les points de la seconde figure.
Ainsi le
: rapport — se trouve transformé.
/ .SI
droite ( Sil'c
; le point qui, dans la seconde figure, m a a. considérer plusieurs segments sur i
correspond à 1 une môme droite
infini de la , on pourra
/a'-fb"
i étant une constante relative à la droite sur laquelle sont les segments ; sorte que pour des segments situés sur une autre droite on aurait une au constante. Mais il faut, pour que la relation dans laquelle entrent c( soit transformable, qu'après la substitution de ces expressions des segments ab, ... les constantes disparaissent d'elles-mêmes.
627. Transformer homographiquement te rapport de deux segm cd [fig- i32), situés sur deux droites parallèles.
Qu'on mène les deux droites ac, bd qu
îab.
/' étant le point à l'infini sur la droite a
ioB TRAITÉ DB GÉOUETRIE SVPBnlEURE. — CHAPITRE s
]^e deuxième membre ctiint un rapport anhitimonique, ot
On lui donne une antre expression, eti observant qu'on a dans te triangle /'fl'c', coupé par la droite b'd'.
Il vient
«i - ce ■ \/',r "■ j'c' I
/' est le point de concours des deux droites a'b', c'd' , c'est-à-dire le point qui re'pond à l'infini des deux droites parallèles ah^ cd de la jjremîère figure.
628. Trai/.<: former coiTèkilh-cment le iripport — île deux secments situés j '-^ cil "
sur une même droite.
rrespondent, dans de la droite ab;
Soient A', B', G', D' et J' les dr corrélative, aux points a, b, c, d ei
d'après l'expression [a] du rapport
tion semblable de sinus; et, par suit
i') siH(J', A').sin(J^B^
ci sin(C',D') ■ sin(J', C').siu(J', D') I.Ë rapport — - est donc transformé.
On peut remplacer la fonction de siflus piir une fonction de segments. Qu'on mène dans la seconde figure une transverside qui rencontre les cinq droites A', B', C, D', J' en a', h', c , d'j'- on aura
al, ^<-'h' J'n'.j'b' cd c'd' ' j'c' .j'd'
Et si la transversale est parallèle à la droite J', il vient ^ ^" 71'
MBTIIODES DE TRANSFORMATION.
Si l'on a à considérer plusieurs segments si leur donner l'expressio
n[J',A').sin[J',B')'
1 étant une constante relative à la droite nb.
„b = l,—^,-^,, ou al>—-l..a'l/.
Cette dernière formule, d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer, se présente immédiatement dans la théorie des polaires réciproques, si l'on prend une parabole pour conique auxiliaire. Elle se prête à de nombreuses applicarions (').
629. Transformer corrèlath-entent le rapport fie deux segments ab, cd [Jtg. i33), situés sur deux droites parallèles.
cd ce te ' cj
j étant le point situé à l'infini sur la droite ae.
On aura dans la figure corrélative quatre droites A', B', C, D', une cinquième E' qui joindra le point d'intersection des deux A', C au point d'intersection des deux B', D', et une sixième .[' passant par le point d'intersection de A' et C', et correspondant an point situé à l'infini sur ae.
ab . , . , , .
Le rapport ~- est exprime ci-dcssus par un rapport anharmonique; par
conséquent on a
.i6__sin[A'. E') . sin(A', J') c,/~sin[C',E') •sin(C', J')'
On peut donner a« second membre une autre Qxpression. Qu'on mène la droite ¥' qui joint le point d'intersection de A' et B' au point d'intersection
C) Voir Mémoires sur la transformation parabolique des propriétés métriques à fgures {Correspondance mathématique de Quefclet, t. V cf VI, 1819). Poncclel inséré, au sujet de ces Mémoires, dans le même Recueil, des développements ai les relations projectives, où il montre que la théorie des polaires, arec une ui nique quelconque, conduit à la même relation que la parabole. Cela est évident i< puisque cette relation a lien dans les figures corrélatives tes plus générales.
4o8 TnlITE DE GEOMETRIE SlIPERIEVRE. — CHAPITBB XKVII.
de C et D'. On a, dans le triangle formé par les trois droites A', C, F' el aux sommets duquel sont menées les trois droites B', D', E' qui passent par un même point,
sin(A'. E') Bm{A',li'] sin(F^D') ,„„„,
cd ' sin[C',D') "Lsin(F',D'j '^ sin(J', C')J
Remarque. — La figure proposée se compose de quatre points, a, b, c, d; et il entre dans iu figure corrélative, indépendamment des quatre droites A', B', C, D' correspondant à ces points, deux autres droites F' et J' qui correspondent, respectivement, aux points situés à l'infini sur les droites ab
630. Prenons le théorème de Newton sur les diamètres des courbes :
a Si dans le plan d'une courbe géométrique on mène des transversale!, parallèles entre elles, et qu'on prenne sur chacune de ces droites le centre des moyennes distances de tous les points d'intersection [réels on imaginaires ] de la courbe par la droite, le lieu de ce point sur toutes les transversales est une droite, »
C'est^^-dire que, a, b, c, ... étant les points d'intersection [réels ou imaginaires) de k courbe par une transversale, le point m déterminé sur cbaque transversale par l'équation
[b] ma-hmb-i-mc-+-.. . = 0
a pour lieu géométrique une ligne droite.
Aux transversales correspondent, dans la figure corrélative, des points tous situés sur une même droite J correspondant au point de concours, à l'infini, de tontes les transversales; et aux points a, b, .... situés sur une même transversale, correspondent les tangentes A, B, . . . , A la nouvelle courbe, issues d'un même point de la droite J; au point m correspond une droite M menée par le même point de J, On aura (628)
in{
sin
in(J,
inf
mù
sm
in(J,
METHODES DE TRANSFOUUITION. 409
Substituons ces valeurs dans l'équation [b]; la constante 1 clispaniît d'ellemême, ainsi que le facteur sin[J, M), et l'on a
sin[J, A Ce qui esprime cette propriété di
•bes géométriques :
Si l'on prend dans le plan d'une courbe géométrique une droite fixe J, et que l'on conçoive mutes les tangentes à la courbe ( réelles on imaginaires) A, B, C, ... issues d'un même point m de cette droite, et la droite M menée par le même point, sous une direction déterminée par l'équation
celte droite toiirni la droite J.
.rd'un point fixe, quand le point m glissera s
Appelons a, b, c, ... les points do contiict des droites A, B, C, ... ivec la coui'be; «, S, 7, . . . les distances de ces points à la droite M, et t', e', "/', . . . leurs distances à la droite J; ou aura
in(M,A) in(J, A)'
in(M,B) iu(J, K)
7 équation devient
n suppose que les points de contact a, h, . . . aient des niasses m, , , eu raison inverse de leurs distances «', 6', . . . à la droite J, l'équae change en
équation qui prouve que ia droite M, à laquelle se rapportent les distances «, S, ..., passe par le cenife (^e ^mvit^ des points a, ë, .... (&G2j,
4lO TR.VITB DE GÉOMÉTBIR SUPERIEURE. — CHAPITRE XXVII.
Or, ci; centre de gravite est précisément le point qu'on a appelé le centre des mojennes harmoniques des points n, b, . . ., relatif à la droite J (473), On a donc ce théorème général :
Si par un point pris sur une dinite fi.i:e 3 on m'-ne les n tangentes [réelles ou imaginaires] h une courbe gêiymétriqiie tie a"-'"" classe, les n points <le
contact { réels ou imaginaires ) auront pour centre des moyennes harmoniques relatif à la droite 3 an point qui srra toujours le même, quel que soit le point de la droite J par lequel on a mené les tangentes.
Si la droite J est à l'infini, le centre des moyennes harmoni(|ue5 devient le centre des moyennes distances (W2), de sorte qu'on peut dire que :
Etant donnée une courbe géométrique, si on lui mène toutes ses tangentes [ réelles ou imaginaires ) parallèles h un e même droite, les points de contact auront pour centre des moyennes distances un point JLre, quelle que soit la direction commune des tangentes.
fi31. autrement. — Comme tous les segments de l'équation que nous avions à transformer ont une même origine, on peut faire la transformation immédiatement sans se servir des formules (628). Pour cela, on écrit l'équation ainsi :
n appelant j le point h. l'infini sur la transversale,
Puisque tous les termes sont des rappojts an harmoniques, o
