Faisons quelques applications de ces principes

n Si, autour d'un point d'une circonférence do cercle on fait tourner un angle de grandeur constante (A, A'), la corde que ses deux côtés interceptent dans le cercle enveloppe un second cercle concentrique. "

Les deux côtés A, A' de l'angle mobile forment deux faisceaux homo-

tl ET RODES DE

graphiques dont les rayons doubles passent par les points d'intersection du cercle et de lu droite située à l'infini (633), et les deux cercles, étant concentriques, ont un double conLict sur cette droite (728); par conséquent, la figure ho Biographique donne lieu à ce théorème ;

Si deax faisceaux homogiaphiques oui leur sommet commun en un point d'une conique, les cordes interceptées dans cette courbe par les rayons homologues des deux faisceaux enveloppent une seconde conique qui a un double contact avec la première sur la corde interceptée dans lelle-ci par les rayons doubles des deux faisceaux {'),

637. Dans le cas du cercle, si l'angle de grandeur constante (A, A') est droit, la corde qu'il intercepte est un diamètre; par conséquent, la droite qui lui correspond dans k figure transformée passe par un point fixe, Mais alors les deux faisceaux formés par les cotés A, A' sont en iDvolution (253) ; un u donc ce théorème :

Si par un point d'une conique on mène trois couples de droites formant une involution, les trois cordes que leurs angles interceptent dans la courbe passent par un m&ne point.

le suivant :

Si deux divisions komographiques sont formées sur une tangente à une conique, et que par deux points homologues on mène deux tangentes à la courbe, le lieu du point d'intersection de ces deux tangentes seirt une conique ayant un double contact avec la proposée; le pâle de contact sera le point d'intersection des tangentes menées à la conique par les deux points doubles des divisions komographiques.

Si l'angle (A, A') dans le cercle est droit, les deux divisions komographiques, sur la tangente à la conique, sont en învolution, et alors le lieu du

{') Ici senililerait se présenter une difliciilté; c'est qu'il n'y aurait de corde i ceplée dans 1a conique qu'autant que les deui rayons doubles seraient réels, Ci précisément, n'a pas lieu dans la figure résultante de la tran s forma lion du ci mais l'objection n'est qu'apparente, car, en général, un système de deus droites ginaires dont le point ds concours est réel, telles q (aisceaui bomographiques, donne lieu, i) l'égard d'ui jours réelles, qui reneontrenl la conique auï mêmes j

réelles est la tungente e

4i4 thaitë de: géométrie supékibure.

point d'inicrsecùon des tnngenles à la conique, menées par deux points homologues des deu.v dMsions en involation, est une ligne d/oiie. Cette droite est la poLiire du point de concours des deux tangentes menées par les points doubles des deas divisions.

639. Supposons dans ces tliéorèmes que la tangente a la conique soit à l'infini, auquel cas cette courbe est une parabole ; et prenons, pour les deux divisions homograjihiques, celles qui seraient formées par les deux côtés d'un angle de grandeur constante tournant autour de son sommet. On en conclut que :

Si un angle de grandeur constante se meut de manièi-e que ses câtés soient toujours tangents à une parabole, son sommet décrira une conique ayant un double contact avec la parabole.

Et, si l'angle est droit, le sommet décrit une ligne droite.

040. « Si autour du centre d'un cercle, comme sommet, on fait tourner un angle de grandeur constante, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique, a

La transformation bomograpliique donne ce théorème ;

Si, autour d'un point fixe, on fait tourner deu.r. rayons formant, par leurs positions successives, deux faisceaux homographiques dont les rayons {loubles soient les tangentes d'une conique issues du point fixe, la corde que ces deu,r rayons à angle variable interceptent dans la conique enveloppe une seconde conique qui a un double contact acec la pivposée sur la polaire du point fixe.

611. Par la théorie des figures corrélatives, le théorème du cercle donne le suivant :

Si sur une droite fixe, dans le plan d'une conique, on forme deux divisions homographiques ayant pour points doubles tes points de ta conique situés sur cette droite, et que l 'on fasse tourner un angle de grandeur ■variable circonscrit à la conique, de manière que les points où ses côtés rencontrent la droite fixe soient toujours deux points homologues des deux divisions homographiques, le sommet de l'angle décrira une conique ayant un double contact avec la proposée, sur la dmitcfixe.

642. " En quelque point d'une circonférence de cercle qu'on place le sommet d'un angle de grandeur donnée, et quelle que soit la jtosition de cet angle, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. »

p ths.n-jForvvtio\ 4i5

Soient A et A' les deux côtes de 1 iii^le, comptes tnujouis dans le même sens de lotition ils vont lencontter la droite a Tmlini en deux points a, a' qui appartiennent i deu'v divisions homographiques dont les points doubles sont les points du cercle situes a liniini(633) Dapièsceh, si l'on fut la déformation homogiaphique, on a ce théorème ■

Si sui une droite menée dam le plan d'une loiuqui, on foiine deicr dmsions homographiques ayant pour pomlt doubles lei deuc poinli d luteisectioii de la ionique et de la droite, les droites menées de detir points homologuea quelconques des deuj. di iiiona a un point quelconque de la conique inleicepteront dans telle couibe une coide qui enoeloppera u/il seconde cont jue ayant un double lonclact a\ec la piopoiet sui la droite sur laquelle sont les deux dmsions.

643. Par la théorie dos figures coriclativcs, on conclut du tliéorème sur le cercle celui-ci :

Quand deux faisceaux homographiques émanés d'un même point fixe ont pour rayons doubles tes deux tangentes menées de ce point à une conique, si l 'on mène une tangente quelconque à cette courbe, et que par les points où elle renconti'e deux rayons homologues quelconques des deux faisceau-c on mène deux autres tangentes à la conique, le point de rencontre de ces deux tangentes aura pour lieu géométrique une seconde conique qui aura un double contact avec la proposée; le point fixe, centre commun des deux faisceaux, sera le pôle de contact des deuj-. courbes.

644. On peut appliquer ces procédés de transformation à beaucoup d'autres propriétés du cercle, mais il est inutile de nous y arrêter ici. Nous ferons seulement remarquer que cette théorie donae la solution d'une question qui a pu se présenter souvent A l'esprit des géomètres dans ces sortes de transformations, particulièrement dans les applications de la perspective. Qu'est-ce que deviennent des polygones réguliers et comment peut-on construire a priori un polygone qui puisse devenir, dans une transformation homographique ou corrélative, un polygone régulier i

Dans un polygone régulier, tous les côtés sont sous-tendus ]}ar des angles au centre du. cercle circonscrit, tous égaux entre eux.

D'après cela, concevons que par un point fixe O, pris dans l'intérieur d'une conique, on mène m rayons A, B, C, .... formant un premier faisceau; les rayons pris en commençant par le second, savoir B, C, D, . . ., formeront un second faisceau ; si les deux faisceaux, dans lesquels les rayons li, C, D, ... du second seront les homologues respectifs des rayons A, B, C, ... du premier, sont homographiques, les cordes interceptées

4l6 TRAITÉ DE GiOHÉTElIE SUPÉRIEURE. -

dans la conique par les angles (A, B), (B, C), . . . seront les côtés d'un polygone provenant de la perspective ou déformation liomographique d'un polygone régulier.

Par conséquent, les propriétés relatives aux polygones re'guliers s'appliqueront aux polygones dont il est <]ueBtion.

6i5. Prenons ce théorème : " Un polygone régulier de m côtés étant inscrit à un cercle, la somme des puissances n(«étant-<m) des distances de ses sommets à une droite fixe reste constante quand o polygone autour du centre du cercle (718]- " On en conclut, par u formation liomographique, que ;

Si un point 0 pris dans t'intéiieur d'une conique est le centn faisceau de m rayons OA, OB, OC, . . . , tels, gue les rayons pm lii-ement en commençant par le second, samir OB, OC, OD, . . . , forment un secondfaisceau homographigue, la somme des puissances n (n étant <^ m ) des distances des points où tous ces rayons rencontrent la courbe, à une droite fixe, divisées respectivement par les puissances n des distances des mêmes points à la polaire du point fite, restera constante quand on fera tourner le faisceau de rayons autour du point 0.

6'i'6. Si c'est la figure corrélative que l'on (ait à l'égard du théorème sur le cercle, on obtient un théorème relatif à un polygone circonscrit à une conique :

Si un point 0 pris dans l'intérieur d'une conique est le centre d'un faisceau de m rayons OA, OB, OC, . . ., déterminés comme il a été dît dans le théorème précédent, et que par les points où ces rayons rencontrent la courbe on mène les tangentes, la somme des puissances ii[n étant <^ m) des distances de ces tangentes à un point fixe, divisées par les puissances n des distances des mêmes tangentes au point 0, reste constante quand on fait tourner le faisceau des m rayons autour du point 0,

Ce théorème et le précédent donnent lieu à diverses autres propositions dont le développement ne peut trouver place ici (').

111. — Usages de la théorie des figures homologiques et de celle des polaires rêciptoques pour les transformations d'angles.

647. La théorie des figures homologiques donne parfois le moyen d'ap-

(') Voir Comptes rendus des séances de VAcadcmis des Sciences, t. XXVI, séance

MÉTHODES DE TRANSFOmUTION. 417

pliquer 11 une figuee des ]>i'Opriétés d'angles d'une autre figure : c'est dans le cas où tous les angles que l'on considère ont le même sommet. On prend ce point pour le centre d'honiologie des deux figures, et il peut en résulter certaines conséquences.

Par exemple, deux coniques qui se touchent en un point sont homologiques par rapport à ce point pris pour centre d'homologie ( ' ] ; un angle qui a son sommet en ce point intercepte dans les deux courbes deux cordes qui sont deux droites correspondantes ou homologiques, et, si cet angle tourne autour de sou sommet, les deux cordes envelopperont deux courbes qui seront homologiques, de sorte que les propriétés de l'une feront connaître les propriétés de l'autre. Cela posé, concevons que l'une des coniques soit un cercle et que l'angle tournant soit droit; la corde qu'il intercepte dans le cercle passe par un point fixe situé sur la normale commune aux deux coui'bes, puisque ce i>oînt est le centre du cercle. Il s'ensuit que lu corde interceptée dans la conique passe aussi par un point Jîxe situé sur la même normale; ce qui est un théorème bien connu.

Si l'angle tournant n'est pas droit, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique ; donc la corde interceptée dans la conique enveloppe une seconde conique.

Or deux cercles concentriques peuvent être regardés comme ayant un double contact sur la droite située à l'infini (728); donc la nouvelle conique a un double contact avec la proposée sur la di-oite qui, dans cette conique, correspond à l'infini du cercle. On a donc ce théorème :

Si autour d'un point d'une conique comme sommet on fait lourrer un angle de grandeur constante, ta corde qu'il intercepte dans la conique enveloppe une seconde conique qui a un double contact avec la proposée ('),

Cela est, comme on voit, un cas particulier du théorème (636) obtenu par la méthode générale.

64-8. Une conique et un cercle ayant son centie en l'un de ses foyers sont deux courbes homologiques dont le centre d'homologie est au foyer ('), Si un angle de grandeur constante tourne autour de ce point comme sommet, la corde qu'il intercepte dans le cercle enveloppe un cercle concentrique. Donc la corde interccptce dans la conique cmeloppe une seconde conique quia un double contact avec la proposée. Le contact (imaginaire)

(') POMEl.

(') /fe'rf., (') Ibid.,

yGoosle

4l8 TKAIIE I>E GliOMETRlE SUPEnilîLIlE.

a lieu sur la directnce airrespondant au foyer, i>ai-ce que cette droite est la poldii-e du foyer, et, jiar conséquent, coixespond à la droite à l'infini dans le cercle, laquelle est la polaire du centre.

Ces exemples suffisent pour montrer comment la théorie des figures liomologiques a pu servir à faii-e des transformations de propriétés relatives aux angles. C'est dans le Traité des Propriétés pi-ojecth^cs des figures AeVoacelei <|ue l'on trouve les premiers exemples et les plus lieuicuses applicatitms de cette met! iode.

649. Pour la transformation des angles d ma Ils fljuics corrclalives, on peut se servir de la théorie des polaires récipioques, en pienant un cercle pour conique auxiliaire. En effet, dans le cercle, le pôle d une droite est sui le rayon pei pendiculaire à la droite. Il s'ensuit que l'angle de deux dnutes dans une figure est égal à l'angle des i lyons menés d'un point fixe lux deux points qui correspondent à ces dioites dans h figure polaire. De la lesulte la méthode féconde due à Poncelet et dont les géomètres ont fut depuis de nombreuses applications.

Ainsi, de ce théorème : Les perpendiculaires abaissées des sumincis d'un triangle sur les côtés apposés passent pnr un même pnint, on conclut celui-ci : Si d'un point fixe on mène des droites aiij: trois sommets d'un triangle, les perpendiculaires h ces droites menées par le même point vont r les eétés opposés nue trois sommets rcspectiicmeiit en tiois jioints

650. Rans ce système, où l'on |>rcnd les pAles et les polaires jiav ra|>jwrt à un cercle, la conique qui correspond à un cercle a l'un de ses foyers situé au centre du cercle auxiliaire. Supposons que l'on considèi-e dEins le cercle proposé un angle de grandeur donnée ayant son sommet sur la cii-conférence; cet angle intercepte dans le cercle une corde qui envelctppe un second cercle concentrique. On en conclut ce théorème : Si autour du fioyer d'une conique on fait tourner un angle de grandeur conslanie, et que par les points où ses côtés rencontrent une tangente quelconque à la conique on mène deux tangentes h lu courbe, le point d'intersection de ces deux tangentes aura pour lieu géométrique une seconde conique ayant un double coitacl avec la première, sur la directrice correspondant au fojer. it droit, le lieu est la directrice elle-même.

651. Dans ces exemples, les angles que nous avons eu à tiansformcr sont égaux, de sorte que notre méthode générale s'y applique aussi, et elle procure immédiatement des résultats plus généraux, puisque les angles de la nouvelle figure n'y sont pas nécessairement de même grandeui". Ainsi, le

théorème précèdent n'eat qu'un cas parliculier du thûotèine (643) eoiicld de la même propriété du cercle i)ar lu méthode générale, puisque celui-ci exprime une propriété relalive-à un point quelconque pris dans le ])lau d'une conique, tandis que ce point est, dans le théorème (030), nécessairement un des deux foyers de la courbe.

Il est vi'ai que, après avoir démontré un théorème relalif au foyer d'une conique par la transformadon polaire d'un cercle, on peut généraliser ensuite ce théorème et l'appliquei' à un point quelconque par une transformation homographique.

Si la méthode des polaires réciproques ne conduit pas immédiatement ans i-ésultats les plus généraux, elle peut offrir un autre avantage, car elle serait seule applicable dans des questions où l'on aurait à considérer des angles de grandeurs différentes. Mais ce cas ne s'est probablement présenté que fort rarement dans les applications que l'on a pu faire de cette méthode ingénieuse, qui a puissamment contribué aux progrès de la Géométrie depuis l'apparition du Traité tics Pivpriétàs pivjecth-ci des figures.

1 UN CEBCLi;.