CHAPITRE XXYIII

PnOPElÉTÉS EIÎLATIVES * UN CER(

g 1. — Du rapport anltarmonlque de quatre points d'un cercle.

652, La seule propriété du cercle que nous supposerons connue est celle-ci : Tous les angles qui ont leurs sommets en des points de la circonférence et qui sous-tendent une même corde sont égaux ou suppléments l'un de l'autre. Cette proposition va nous servir à introduire dans la théorie du cercle là notion du rapport anharmonique, qui deviendra la base des développements ultérieurs.

653. Si de deux points Jixes P, P' pris sur la circonférence d'un cercle {fig- i34) on mène des droites à chaque point m de la circonférence, ces droites forment deux faisceaux homographiques.

En effet, deux droites Pni, Pn du premier faisceau font entre elles le même angle que les deux droites correspondantes Pm, Vn du second faisceau; donc les deux faisceaux sont homogi-aphiques(181).

Il est clair que le rayon PP' du premier faisceau a pour homo-

jïa TRMTÉ DE CIJOMKTRIE SUPÉRIECRE. — CIIAPITIIE X\V[11.

iogiie dans le second la tang'ente au cercle en P*, et, pareillement, que la tangente en P, considérée comme rayon du premier faisceau, a pour homologue dans le second le rayon P'P (851 ).

654. Le théorème précédent est susceptible d'un autre énoncé; on peut dire que : Si par quatre points fixes a, b. c, d pris sur la circonférence d'un cercle [fig- i35) on mène quatre droites à un même point p de la circonférence, le rapport anharmonique (le ces quatre droites est constant quel que soit ce cinquième point.

Nous appellerons cette valeur constante le rapport anharmonique des quatre points a, h, c, cl du cercle.

1)65. Trouver les points d'intersection d'unp. droite et d'un cercle.

Les deux rayons tournants Pm, P'm [fig- i36) marquent sur la droite deux divisions homographiques (653), dont les points doubles seront évidemment les points d'intersection cherchés.

On construira ces points soit au moyen de trois couples quelconques de points conjugués rt, a' des deux divisions, soit en se servant des points I et J', dont les homologues sont à l'infini (161).

Observation. — Il résulte de là que les propriétés relatives aux points d'intersection d'un cercle par une droite peuvent se conclure de celles des points doubles do deux divisions homographiques.

Ce que cette méthode a de plus utile ici, c'est qu'elle permet d'introduire dans la théorie du cercle la notion des points imaginaires, qui semblait exiger l'emploi de la Géométrie analytique. On lève par \k une grande difficulté qui entravait la marche de la Géométrie pure. Nous verrons plus loin ( ' ) combien la considération des imaginaires peut être utile comme moyen de démonstration, même dans des propositions escUislvement relatives à des sujets réels.

6o6. Prenons pour les points P, P' les oxlrémitcs d'un diamètre

l'Roi'RiiîTÉs hklativhs a ln chrci.e. 4^3

{Jig- l'iy), et sojt p le point où ce diamèlrc renconlre une droite L.

Qu'on mène la corde FM parallèle à cetle droite, puis la corde PM; celle-ci marquera sur la droite le point I (161), qui sera, par conséquent, le pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur la droite. De même, la perpendiculaire P'J' marque ie point ,T', Le point milieu O des deux I et J' est le nûlieu des deux points d'intersection (161). Par conséquent, on en conclut que : Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre d'un cercle sur une droite est le milieu des deux points d'intersection Irréels ou imaiïinaires) de la droite et du cercle.

657. Considérons le point p (figure ci-dessus) comme appartenant à la première division, et conséquemment au rayon PP* du premier faisceau ; son homologue p' sera sur la tangente en F ( 653 ) , laquelle est perpendiculaire à PP'. On peut exprimer les deux divisions homographiques par l'équation

>J'.,;5«-pI.po' -h ;-I. ,'./=.

et les points d'inters

ection de la droite et du c(

;rclc se d(

par celle-ci :

Soient e, /ces points (réels ou imaginaires) ; le produit pe.pf est égal au dernier terme pl.pp'.

Ce produit pl-pp' est constant quelle que soit la direction de la droite L qui passe par le point p du diamètre PF. On en conclut donc que :

Si une droite tourne autour d'un point p, le produit des seg-

Ji4 TRMTÉ UE GËOMÉTBIE SUPÉBIEUBE. — CHAPITRE XXVIIl.

menls compris antre ce point et les deux points (réols ou imaginaires) ail cette droite rencontre un cercle reste constant.

658. Piiisc|iic le milieu des deux points d'intersection d'une droite et d'un cercle est le pied delà perpendiculaire abaissée du centre siir la droite (656), il s'ensuit que :

Si autour d'un point on fait tourner une droite, le milieu des deux points Irréels ou imaginaires) où elle rencontre un cercle fixe a pour lieu géométrique un second cercle ajant pour diamètre la droite menée du point fixe au centre du cercle proposé.

659. Quand une droite A ne rencontre pas un cercle, les points doubles des deux divisions homogi-aphiques par lesquelles on cherche à déterminer les points d'intersection (655) sont imaginaires, et l'on en eonelut cette propriété remarquable (177) : // existe, d e part et d' autre de la droite A [fig. i36}, un point d'où l'on voit tous les segments tels que aa' sous des angles de même grandeur, et ce point est toujours le même quels que soient les deux points fixes P, P* pris sur la circonférence.

En effet, la distance du point en question à la droite A a son carré égal, avec le signe — , au carré du demi-segment compris entre les deux points doubles (177), et, par conséquent, au carré de la demi-corde imaginaire interceptée sur la droite par le cercle (').

660. Déterminer les points imaglnaiies d'un cercle situés à l'infni.

L'infini est une ligne droite; il faut donc déterminer les points d'intersection du cercle par cette droite située à l'infini. Les rayons Pm, f^m, qu'on fait tourner autour de deux points fixes P, P' [fig- i3ti) et qui se croisent en un autre point quelconque de la circonférence, rencontrent la droite en deux points a, a' situés à l'infini et formant deux divisions homograpliiques dont les points

(') Ce théorème aura diverses applications; ni pour démontrer qu'un cOiie à base circulaire pont suivant un cercle (Chap. XXXIV).

PROPBIKTES RELATIVES A tN CERCLE. 4'.î

doubles sonL les poinls demandés. Or, si par le point V on mène la droite Pm' parallèle à Vin, elle ira passer à l'infini par le poinl a'; de sorie que les deux divisions homographiques sont formées par les deux côtés de l'angle ntVin'. Or cet angle est de grandeur constante; par conséquent, ses cotés Pm, Pm', en tournant, forment deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles (imaginaires) répondent aux points doubles des deux divisions homographiques à l'infini. On a donc ce théorème :

Les points d'intersection d'un cercle par la droite située à l'infini sont sur les rajOJis doubles des deux faisceaux homographiques formés par les deux côtés d'un angle de grandeur constante, tournant autour de son sommet.

L'angle change de grandeur si le point P* se déplace sur la circonférence ; il en résulte que les rayons doubles des deux faisceaux formés par les deux côtés sont toujours les mêmes quel que soit cet angle, ainsi que nous l'avons déjà démontré directement (-178).