II. — Polygones inscrits à un cercle

.662. Soient l'A, P'A et PB, P'B deus couples de rayons homologues fixes, et Phi, P'hi deux rayons homologues variables ; l'homographie des deux faisceavix considérés précédemment (653) s'exprime par l'équation générale

siny«PB^"^''siiw»P'Ji '*^'*''

Mais ici la constante ^ est égale à l'unité, car les deux angles «iPA et HtP'A sont égaux ou suppléments l'un de l'autre, ainsi que les deux m PB, mP'B. Ainsi l'équation est

.'iinmPA^ sin/»P'A ain m l*B ""^n«,P'lt'

Le premier menil)r,3 est égal au rapport des distances dn point m aux deux droites PA, PB, et le second au rapport des distances du même point aux deux droites P'A, P'ii. Ce qui exprime, à l'égard du quadrilatère PAP'B, que :

Dans lin quadrilatère inscrit à un cercle, le produit des dislances de chaque point de la circonférence à deux côtés opposés est égal au produit des distances du même point aux deux autres côtés opposés.

663, On peut étendre ce théorème à un polygone quelconque d'un nombre pair de côtés , c'est-à-dire que :

Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit au cercle, le produit des distances d'un point quelconque de la circonférence aux côtés de rang pair est égal au produit des distances du même point aux côtés de rang impair.

PROPBLÉTÉS RELATIVES A DN CEBCI.E. 4^7

Pour dcmonlrer ce théorème, il suffit d'observer que, s'il a lien .pour un polygone de 2n côtés, il aura lieu pour un polygone de a/j-Ha côtés, parce que celui-ci se décompose, au moyen d'une diagonale, en un polygone de zn côtés et un quadrilatère, et que les équations relatives à ces deux figures fournissent immédiatement l'équation relative au polygone de an 4- a côtés. On conclut de là que, le théorème étant vrai pour un quadrilatère, il l'est aussi pour un hexagone, pour un octogone, etc. Donc, etc.

664, Ud polygone inscrit dans un cercle peut être regardé comme ayant un côté infiniment petit, dirigé suivant la tangente au cercle, en l'un de ses sommets. Cette considération permet d'appliquer le théorème à des polygones quelconques. On en conclut, par exemple, que :

Quand un polygone est circonscrit à un corde, si l'on considère le polygone inscrit i/iU a pour sommets les points de contact des côtés du polygone circonscrit, le produit des distances d'un point de la circonférence aux côtés du premier polygone est égal au produit des dislances du même point aux côtés du second.

665. Soit un quadrilatère P;»P'/î inscrit au cercle {fig. i38). Une droite L rencontre les deux côtés Pm, Pn en a, b, les deux V'm, P'n en «', b' et la circonférence en deux points e, / ( réels ou imaginaires) ; ces deux points sont les points doubles de deux divisions homographiques dont a, a' et b, b' sont deux couples de points homologues (655). Par conséquent, les trois couples e, f^ a, b' el a', b sont en involution (213). Or «, b' appartiennent à deux côtés opposés du quatrilatère, et n', b aux deux autres côlé'^ opposés. Donc :

Quand un (luadrilatère est inscrit dans un cercle, une transversale que/conçue rencontre ses deux couples de calés opposés et la circonférence en trois couples de points i/ui sont en involution.

Cette proposition est celle que l'on appelle le théorème de Desargues sur V involution.

448 rilAlTé DE GÉOilÉTRIE SUPBKlEUHIi. — CHAPITItB XXVIII.

autrement. Les droites menées des deux sommets P, V du quadrilatère PhîP'k aux quatre points m, «, c, /'de la circonférence forment. deux faisceaux qui ont le même rapport anharmonique (653). Conséquemment, les deux séries de quatre points dans lesquels ces droites rencontrent la transversale, savoir n, ft, e, J et «', i', e,f, ont le même rapport anharmonique, et l'on a

eir fb ' eb'- JV '™ c„'.,b fa'.jV

ce qui est une des équations d'invoKilion à Iniil segments.

Cette seconde démonstration exige, à la rigueur, que les deux points e, y soient réels, puisqu'on les considère isolément, tandis que dans la première ces points sont réels ou imaginaires, indifféremment.

666. L'équation précédente s'étend à un polygone d'un nombre pair de côtés, c'est-à-dire que :

Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit dans un cercle, si l'on mène une transversale qui rencontre les côtés de rang pair en des points a., ce', a.", .... les côtés de rang impair en des points 6, £', ê", ... et la circonférence en deux points e, f, on aura la relation

oè.^S'.et"... /g./â'./S"...'

La démonstration se fait par le même raisonnement que pour le lliéorcme (663).

667. Les droites menées de quatre points d'un cerele à deux autres points de la circonférence forment deux faisceaux de quatre droites qui ont letirs rapports enharmoniques égaux (653) ; on en conclut, en considérant les six points comme les sommets d'un hexagone (-426), le théorème de Pascal :

Quand un hexagone est insc/'it dans un cercle, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite.

- Du rapport anharmoniqne de quatre tangentes

668, Deux tangentes à un cercle étant fixes, si l'on mène plusieurs autres tangentes, leurs parties comprises entre les deuoc premières seront -vues, du centre du cercle, sous des angles égaux ou suppléments l'un de l'autre.

En effet, soient A et A! {fig. iSg) les points de contact des deux tangentes fixes, et m le point de contact d'une troisième tangente aa'; les deux droites Ca, C«', issues du centre du cercle, sont perpendiculaires aux deux mA, mA' et font entre elles un angle aCa' supplément de l'angle AniA', dont les deux côtés soustendent la corde fixe AÂ'. Or tous ces angles AmA' sont égaux ou suppléments l'un de l'autre. Donc, etc.

GonOLLAiRE, — Quand les deux tangentes fixes sont parallèles, l'angle aHa' est droit. Donc ; La portion d'une tangente au cercle comprise entre deux tangentes paralèlles est -vue du centre sous un angle droit.

{)69. On conclut du théorème précédent que :

Une tangente mobile, roulant sur un cercle, rencontre deux tangentes fixes en deux points qui Jonnent deux divisions liomographiques.

En effet, l'angle «Go' restant de même grandeur, les deux l'ayons C<i, Ga' forment deux faisceaux homograplûques, et, par conséquent, les deux points a, «'forment deux divisions liomographiques.

670. Les droites menées d'un point fixe aux deux séries de points a et a' formeront deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles seront évidemment les tangentes au cercle menées par ce point. Les rayons doubles peuvent être imaginaires ; les tangentes le seront aussi. On conçoit donc bien ce que l'on entendra

43o Tn\iri! de GEoiiETRiu sui'KniEURi;. — ciiAi'iTnii xxvii[.

par deux droites imaginaires tangentes à un cercle. Cette notion

nous sera irès-utile.

671. On conclut du théorème (669) que : Quatre tangentes à un cercle sont rencontrées par une cinquième en ifuatre points dont le l'apport ankarnioniijue reste constant (pielie que soit cette cinquième tangente.

Nous appellerons cette quantité constante le rapport anharnianiqiie des quati-e tangentes jixes.

672. Le rapport anhar moni que de quatre tangentes à un cercle est égal à celui des quatre points de contact.

En effet, le rapport anharmoniquc (les quatre points a, h, c, d (Jig- i4o) est celui des quatre droites menées de ces points à un autre point m de la circonférence (634) ; et le rapport anharmoniquc des quatre tangentes aux points a, b, c, d est celui des quatre points d'intersection de ces tangentes par une cinquième quelconque (671 ), et par conséquent par la tangente au point m. Soient «, S, y, 3 ces quatre points d'intersection; leur rapport anharmonique est égal à celui des quatre rayons menés du centre du cercle à ces points, et, comme ces rayons sont perpendiculaires respectivement aux quatre droites qui vont du point m aux quati-e points a, b, c, d, leur rapport anharmonique est égal à celui de ces quatre droites. Mais celui-ci exprime le rapport anharmoniquc des quatre points a, b, c, d; donc ce rapport est égal à celui des quatre tangentes. c. y. f. n.