Polygones circonicriis an cercle

673. Soient un quadrilatère circonscrit ahb'a' {fig. i4') et une tangente mobile mm' qui rencontre ses côtés opposés ab, a' b' en m et m'; ces deux points forment deux divisions homographiques (669), et, par conséquent, on a

Le rapport — est égal au rapport des distances de la tangente

is RELVTIVES A UN CliBOI.i;. (i3l

mm' aux deux somnicls a, b du quadrilatère, el — rr, esl égal au

rapport des distances de la même langenl.e aux deux autres sommets rt', h'. Il s'ensuit que l'équation précédente exprime ce lliéorùmc :

Quand un quaârilath-e est circonscrit à un cercle, si une tangente roule sur le cercle, le produit de ses distances à deu^f sommets opposés du quadrilatère est au produit de ses distances aux deux autres sommets dans une raison ^ i/ui reste constante.

La conslaiite î. peut preodre une expression très-simple. On it, dans les triangles C^'h, Chm,

OrlesdcuY angles mCrt et m'C«' ont leurs sinus égaux (668),

iqu.

nCl>, m'Cb'.Boac

'~ Cb ' Ci' ■" C/y.Crt''

f,a raison X est égale au produit des distances du centre du cercle aux deux premiers sommets opposés du quadrilatère, divisé par le produit des distances du même centre aux deux autres sommets.

Le centre du cercle tient Heu, en quelque sorte, d'une tangente.

autrement. Voici une seconde démonstration de ce résultat singulier, qui montrera mieux la raison première de la propriété dont jouit ici le centre du cercle. Il suffit d'appliquer le théorème aux deux tangentes imaginaires issues de ce point, considérées simultanément (670),

^32 THAiTiï DK GKOWiïTBiiv sucKnrEinr. — ciL.vpiTRU sxvm.

Ed effet, soient d'abord deux tangentes quelconques M, M', el soit O leur point de concours. Le produit des dislances des deux sommets a, h' du quadrilatère à ces deux tangentes, divisé par le produit des distances des deux autres sommets h, a' aux mêmes tangentes, est égal à une constante ^^, d'après la première partie du théorème ; il s'ensuit qu'on a la relation

^" b^^ sinrtOM.siii«OM'.sinè'01\[.siTi//OM' .,

Les deux tangentes issues du point O sont les rayons doubles de deux faisceaux homographiques dont les rayons passeraient les uns par les points a, b, c, ... et les autres par les points a', V , c, . . . que les tangentes au cercle déterminent sur deux tangentes fixes (670). Or, quand le point O eslle cenii'c du cercle, les angles des deux faisceaux sont égaux deux à deux; par exemple, l'angle aOb est égal à l'angle a'Ob' ou à son supplément (668), ce qui revient au même ; et alors on a, à l'égard des deux rayons doubles M, M',

L'équation précédente

67-i, Le théorème précédent s'étend à un polygone quelconque d'un nombre pair de côtés, c'est-à-dire que :

Un polygone d'un nombre pair de côtés étant circonscrit à un corde, si l'on mène une tangente tfuelconque, le produit de ses distances aux sommets de rang pair sera au produit de ses distances aux sommets de rang impair dans une raison constante, égale au produit des distances des sommets de rang pair au centre du cercle, divisé par le produit des distances des somuiels de rang impair au même centre.

siitAOM sin