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It donc à

i RELiTtVËS A UN CEnCLE. 433

La dômonslralion est loul à fait semblable à celle du ihéorcme (663).

Ç7b. On pont regarder le point de contact d'uno tangente à im cercle comme le somm.et d'un angle circonscri t dont les deux côtés seraient infiniment peu différents en direction, de sorte que le point de contact d'un côté d'un polygone cireonscrit peut être regardé comme un sommet d'un polygone qui aurait un sommet de plus. 11 résulte de ces considérations que les théorèmes précédents peuvent être appliqués à des polygones circonscrits d'un nombre quelconque de côtés. On a, entre autres, ce théorème :

Quand un poljgonc, est circonscrit à un cercle, le produit des distatices de ses sommets à une tangente est au produit des distances des points de contact de ses côtés à la Jiténie tangente dans une raison constante, </ueile r/ue soit cette tangente.

676. Les tangentes à un cercle rencontrant deux tangentes fixes L, L' en des points a, h, ... et a', h', ... qui forment deux divisions homographiqiies (669), les droites Pu, P&, ... el Pa', Pi', . . . menées d'un même point P à ces deux séries de points forment deux faisceaux homographiques, elles rayons doubles de ces deux faisceaux sont les tangentes an cercle menées par le point P (670). Or ces rayons doubles forment un faisceau en involulion avec les deux couples de droites Pa, Pb' et P^., P^' (213). On a donc, en considérant le quadrilatère ahh'a' circonscrit au cercle, ce théorème :

Quand un quadrilatère est circonscrit à an cercle, les deux couples de droites menées d'un point quelconr/ue à ses sommets opposés, et les deux tangentes menées du même point à la circonférence du cercle, forment un faisceau en involulion.

Il nous sera utile de remarquer ici que la démonstration im^ plique le cas où les deux tangentes sont imaginaires.

Appelons E et F ces deux tangentes (réelles ou imaginaires), œ, ai' les droites menées à deux sommets opposés du quadrilatère, et o, S' les droites menées aux deux autres sommets; nn atira,

434 THAITÉ DE GÉOMÉTHIE SUPÉniEUftE.

entre autres, l'cquation d'involution .m(E..)..infE,.-) ^

i(E,6') .m(F,6).m(F,ff)

677. Celle équation s'étend à un polygone circonscrit au cercle, d'un nombre pair de sommets ; c'est-à-dire que ;

Quand un polygone d'un nombre pair de sommets est circonscrit à un cercle, si d'un même point on mène les tangentes au cercle et des droites aboutissant aux sommets du polygone, on aura, en appelant E, F les deux tangentes, a, a! , œ", ... les droites menées aux sommets de rang pair, et 6, ë', ê", . . . les droites menées aux sommets de rang impair, la relation

sm(E...)..in[E,.').im(E,.")...^,m[F,.)..in(F,.,').«n(F..-)... .m(E, S)..in(E, e')..m(E, S'). . . sinlF, <S].,m{F. S-).sinlF,S-) . . .

La démonstration se fait comme celle que nous avons indiquée pour le théorème (674) ; et la remarque qui a donné lieu au théorème (675) s'applique également ici.