III. — Hexagone cîrcanscrit au cercle

678, Quatre tangentes à un cercle rencontrent deux autres tangentes en deuï séries de quatre points qui ont le même rapport anharmonique (671). Donc, en considérant les six tangentes comme formant un hexagone circonscrit au cercle, on a, d'après la proposition (423), le théorème suivant, dû à Brianchon.

Dans tout hexagone circonscrit à un cercle, les trois diagonales qui joignent les sommets opposés passent par un même point ( ' ) .

§ III. — Propriétés diverses.

679. Si sur le diamètre d'un cercle on prend deux points i/ui

{•) Nous avons dit (616) cora Pascal sur IheiagonB inscrit.

PROPRlÉTliS RELATIVES A UN AERfiLE. ^35

divisent harmoniquement ce diamètre, les distance!: de chaque point de la circonférence à ces deux points Jixes ont leur rapport constant.

En effet, soient e, f les deux points qui divisent harmoniquement le diamètre A.k![Jig. i^i ) ; les droites naenées d'un point de la circonférence à ces deux points font des angles égaux avec la droite menée du même point à l'une des extrémités du diamètre(8S). Or on a, dans les deux triangles emK, fiuA,

cm si» A > siaA

^A sine,,,.A' fx smfmX'

Il s'ensuit, puisque les deux angles eitiA, fmk. sont égaux, que

cm ^ frn ,^c ^ Ae

eX /A ' mj- A/"

Ce qui démontre le théorème.

G80. Si pur deux points e, f, c/ui divisent Itarinoniijuentont le dianùitre AA' d'un cercle [fig- i4^)i "/; élève deux perpendiculaires, toute tangente au cercle rencontre ces droites en deux points e', f, tels, tjue les droites menées du centre à ces deux points sont également inclinées sur la droite menée du centre au point oit la tangente rencontre la tangente jixe en l'une des extrémités du diamètre AA'.

En effet, les deux droites C</, C/^' forment avec les deux Ca, Cfl* un faisceau harmonique. Or celles-ci sont rectangulaires (668, Coroll.). Donc chacune d'elles fait des angles égaux avec les deux Ce', C/' (84). Donc, etc.

CoiiOLLAinE. — 11 suit de là que : Le rapport des deux droites C e', C f ' est constant et égal à —z ■

Car, la droite C« divisant l'angle e'C/"' en deux parties égales. ,na ^= "2^. Mais ^',- = ^- Donc, etc.

yGoosle

681. Si sur les cordes d'un cercle issues d'un même point p </« la eirconférence {{'g- i44) "" prend des segments pp', en raison inverse des cordes, le lieu de leurs ext/'éniités p' est une droite perpendiculaire au diamètre cjui passe par le point p.

En effet, on a, par hypolhèse, pp' = — > ^ étant une constante.

Soit pris sur le diamètre pO le segment pE =^ -j-: on aura

ce qui prouve que les deux triangles pEp' et fctO, qui ont l'angle en p commun, sont semblables, et, par conséquent, que le premier est rectangle en E, de même que le second l'est en a. Donc le lieu du point p' est la droite élevée par le point E perpendiculairement au diamètre pO. c. q. f. d.

682, Quand un triangle est inscrit dans un cercle, le produit de deux côtés est égal au produit de la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur le troisième côlé, multipliée par le diniiiètre du cercle.

En effet, soient ABC {Jig- i^^) le triangle, A^ la perpendiculaire abaissée du sommet A sur le côté opposé, et AA' le diamètre dii cercle. Lés deux triangles rectangles BA/j et A'AC sont semblables, parce que leurs angles en B et A' sont égaux; de sorte qu'on a la proportion