AB.BC.CA = A/J.BC.AA

d'où l'on conclut que :

Le diamètre du cercle circonscrit à un triangle est égal au produit des trois côtés divisé par le double de l'aire du triangle.

Ainsi, a, h, c étant les trois côtés du triangle, S sa surface et r le rajon du cercle circonscrit, on a 4'''^ ^=^ abc.

CoKOiXAiRE ÏI, — En appliquant l'équalion

A;).AA'=-.AIi.AC,

relative à la corde BC, à tous les côtés consécutifs d'un poljgone, d'un nombre pair de côtés, itiscril au cercle, on en conclut immédiatement le théorème (663).

ÎII.

683. Un triangle ABC étant tracé dans le plan d'an cercle, si de ses sommets on mène les tangentes Aa, Aa'; Bb, Bb' et Ce, Ce' (^réelles ou imaginaires), on aura, entre les sitius des angles c/ue ces tangejites font avec les cotés du triangle, la relation

sin^AB.sina'AB sin AllC.sini'BC sincCA.sinc'CA

sin-ïAC.sinn'AC sinôBA.siuft'BA sincCB.sînc'CB

Supposons d'abord que les deux sommets B, C du triangle soient extérieurs au cercle, le sommet A pouvant cire intérieur ou extérieur, indifféremment.

Soit D le point d'intersection des deux tangentes Bi et Ce; les trois droites menées de ce point au sommet du triangle ABC donnent la relation

ii/jRC sincCA sinDAB nTËA siiicCB sinUAG "

On a pareillement, à l'égard du point d'intersection D' des dei tangentes Bi', Co',

siLii'BG siiif'CA sIqD'AB sini'BA siac'CB MiciD'AC ~^''

Multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

sin61iC.sin6'BC sincCA.sine'CA sinDAB.sinD'AB siiiiBA.sinè'BA sincCB. siac'CB siiiDAG.sinD'AG ^ ''

B SUPÉRIEURE. — CHAl'lTBI! SXVIH.

Or, les quatre tangentes BJ, Bb', Ce, Ce' forment un quadrilatère circonscrit BDCIV. Les droites menées du point A aux sommets de ce quadrilatère, et les deux tang^enles An, Ac^ (réelles ou imaginaires) forment une involmion (676). On a doncTéquaiion

sinBAD sinBAD' sinBArr.sinBAft'

inCAD.sinCAD'

inCArt

inCA

ent précisément Is A, B

c qu ,1

térieurSi

d'après laquelle la précédente devi démontrer.

Passons au cas où deux somme seule extérieur.

Que sur le côté AB on prenne un point extérieur B'; on a deux triangles B'AC, B'BC, dont chacun n'a qu'un sommet intérieur et auxquels s'applique le théorème ; et, des deux équations relatives à ces triangles, résulte naturellement celle qui exprime le théorème à démontrer pour le triangle ABC dont les deux sommets A, B sont intérieurs au cercle.

Enfin, considérons le cas où le triangle a ses trois sommets A, B, C intérieurs au cercle. Alors on prend sur l'un des eôtés, AC par exemple, un point extérieur C, et l'on a deux triangles C'BA, C'BC, auxquels s'applique le théorème, puisqu'ils n'ont, chacun, que deux sommets intérieurs; et, des deux équations relatives à ces triangles, résulte celle qu'il s'agit de démontrer à l'égard du triangle ABC,

Ainsi, le théorème est démontré complètement, quelle que soit la position des trois sommets du triangle par rapport au cercle.

- Des p&Ies et polaires dans le cercle.

■ Pôle d'il.

68i. Si autour d'un point p {Jîg- i46)i dans le plan d'un cercle, on fait tourner une transvenale sur laquelle on prend le point p' conjugué harmonique de p, par rapport aux deux points où cette droite rencontre le cercle, le lieu de co point p' sera une droite.

En effet, soit a le milieu des deux points

du c

yGoosle

PHOrHlETliS BEL4T1VES *

pa.pa' = pp'.p^ (74).

Or le rectangle p a.pa' esl, constant et égal à pA. pA'. Donc le segment pp' est en raison inverse de peu. Mais le point « est sur un cercle qui passe par le point p (658). Donc le point p' est sur une droite (681). c. q. f. n.

On appelle cette droite la polaire du pointp; et réciproquement, ce point est dit le pôle de la droite.

Cette polaire est perpendiculaire au diamètre qui passe par le polo p; et le point e où elle rencontre ce diamètre peut se déter-

Ce.Cp^CA -R (73),

R étant le rayon du cercle.

Jiemarqiies. — Quand la droite menée par le point p ne rencontre pas le cercle, les deux points a, a' sont imaginaires; niais leur milieu a esl toujours réel (6S6) ; de sorte que le point p' se construit par la même formule

dans laquelle on peut remplacci- c.a par (R^ — aC ) (657) ; ce qui donne

Cette relation fait voir que les deux points p, p' sont du même côté de « , ou de côtés différents, selon que ( R^ — a C ) esl positif ou négatif; c'est-à-dire selon que la transversale rencontre le cercle en des points réels ou imaginaires.

Observons encore que ces diverses relations servent à construire la polaire d'un point, sans que le cercle soit décrit, parce que l'on n'y fait usage que du centre et du carré du rayon.

Ces remarques nous seront utiles plus tard.

SUPtRIEURE.

683. Les polaires des différents points d'une droite passent toutes par le pôle de la droite.

Car les deux points p, p', dont le second est sur la polaire du premier, étant conjugués harmoniques par rapport aux deux a, a', la polaire du point p' passe par le point p (GS-i).

686. Si l'on mène par un point p deux transversales paa', pbb' {fig- 1 47)1 l^ point d'intersection des deux droites ab, a'b' et le point d'intersection des deux aL', a'b seront sur la polaire du point p.

En effet, soient p', p" les points de la polaire, sur les deux Lransvcrsalcs; on a les deux équaûons

Ce qui prouve que les quatre points p, «, p', d ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre poînLs p, b, p", b'. Donc les trois droites ab, p'p", a'h' concourent en un même point (42); c'est-à-dire que les deux droites «£,«'&' se coupent sur la droite p'p".

Or, les deux points h et b' entrant de la même manière dans la seconde équation, on peut substituer l'un à l'autre, et il en résulte ■ que ce qui est démontré des deux droites ab, dV s'applique aux deux ah' m a'h. Donc, etc.

Autrement. Les équations

montrent que les deux arcs de la circonférence auxquels appartiennent, respectivement, les deux points a et d, ainsi que les deux b et V , forment deux courbes homologiques dont le point p est le centre d'hoinologie, et la polaire p'p" l'axe d'homologie (530). Par conséquent, les deux droites homologues ab, a'b' se rencontrent sur la polaire.

Et si l'on considère les deux points a, b' comme appartenant à

pnOPRIÉTÉS RELATIVES A UN CERCLE. /,il

un même arc, cL les deux (3/, b comme leurs liomologiies sur l'arc homologique, il s'ensuivra que les deux droites nb' el a'b se rencontrent aussi sur la polaire du point p. Donc, etc.

687. Si l'on conçoit que les deux transversales pab, pa'i' soient infiniment voisines, les cordes ab, a'V se croiseront toujours sur la polaire du point p et deviendront les tangentes en a el a' . Donc :

Quand une droite tourne autom- d'un point fixe, les tangentes menées par les deux points oii elle rencontre le cercle se croisent sur la polaire du point fixe.

En d'autres termes : La polaire d'un point est le lieu des sommets des angles circonscrits au cercle dont les cordes de contact passent par le point.

Et réciproquement: Le pôle d' une droite est un point par lequel passent toutes les cordes de contact des angles circonscrits au cercle qui ont leurs sommets sur la droite.

688. Si par le point de concours de deux tangentes à un cercle on mène deux droites conjuguées harmoniques par rapport à ces deux tangentes, le pôle de l'une sera situé sur l'autre.

Car les deux droites rencontrent la corde de contact des deux tangentes en deux points qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points de contact (83). Donc la polaire de l'un de ces points passe par l'autre (ôS-i). Maïs ces polaires passent par le pôle de la corde de contact (685), lequel est le point de rencontre des deux tangentes. Donc ce sont les deux droites qu'on a menées par ce point. Donc, etc.

Corollaire. — Il suit de là que : Etant donna wi cercle, si par chaque point d'une droite fixe on mène une seconde droite qui soit la conjuguée harmonique de la première par rapport aux deux tangentes au cercle issues de ce point, cette droite passera toujours peu- un même point qui sera le pôle de la droite fiixe.

II. — Autre manière de démontrer les pivpositions précédentes.

689. Des théorèmes précédents, les uns se rapportent à des points et les autres à des droites, de sorte qu'ils peuvent se con-es-

pondre mutuellement, comme cela a lieu pour !a plupart des propositions que renferme cet Ouvrage : par exemple, le dernier théorème, par lequel on construit le pâle d'une droite, correspond au premier (684}, par lequel on constniit la polaire d'un point. Cependant nous n'avons pas fait cette distinction, comme à l'ordinaire, ayant voulu traiter d'abord ce sujet de la manière la plus élémentaire, en ce qu'elle n'exige la connaissance d'aucune autre propriété notable du cercle.

Mais nous allons reprendre notre marche accoutumée et suivre les deux voies parallèles, qui sont si propres à marquer le caractère distinclif des diiTérentes propositions, à les classer dans un ordre naturel et à répandre toute la clarté désirable sur leur ensemble.

690. Deux transversales paa\ phi)', issues du point p et rencontrant le cercle, donnent lieu au quadrilatère aa'b'h [fig- i47)- Une troisième transversale quelconque, menée par le même point, rencontre les deux côtés opposés ah, a'b' en deux points c, c' et le cercle en deux autres points e, (f (réels ou imaginaires). Ces deux couples de points appartiennent à une involution dont le point p est un des points doubles (665). Or la droite RG, qui joint le point de concours des deux côtés opposés ab, a'b' à celui des deux diagonales ah\ a'b, et la droite Rp divisent harmoniquement l'angle des deux côtés ab, a'b' {35S) ; donc la transversale rencontre la droite RG en un point p'" qui est le conjugué harmonique de p par rapport aux deux c, c'. Donc ce point p'" est le second point double de l'involution (2'H). Donc les deux points p, p'" sont conjugues harmoniques par rapport aux deux points e et if de la courbe.

De là résulte tout à la fois la démonstration dos deux théorèmes (684 et 686}, relatifs à la polaire d'un point.

691. Considérons le quadrilatère circonscrit AERF {Jig. 148), dont les sommets opposés sont A, R et E, F. Si d'un point quelconque m de la droite EF on mène les droites nih., wR et les deux tangentes au cercle im, mcj (réelles ou imaginaires), ces deux couples de droites appartiendront à une involution dont la droite EF sera l'un des rayons doubles (676). Mais la droite AR est di-

PHOPaiÉTÉS IlELiTI¥E5 A VS CEBCLE. 443

visée liarmoniquement en G el R par les deux dd' et EF (350). Donc ta droite mG et la droite mE sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux mA, niB. Donc la droite m G est le second rayon double de l'involiition. Donc cette droite et la ligne /wE sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes issues du point m. Or, d'une part, le point G, par lequel passe cette droite, est fixe, quel que soit le point m, puisque c'est l'intersection des diagonales du quadrilatère circonscrit A-dBd'. Et, d'autre part, si le point m est à l'infini, auquel cas les deux tangentes sont parallèles à la droite EF, on reconnaît que le point G et la droite EF divisent harmoniquement le diamètre du cercle perpendiculaire à celte droite-, ce qui montre que le point G est le point que l'on a appelé précédemment \e pôle de la droite EF (684).

On a donc ce premier tliéorènie :

Si de chat/ue point d'une droite Jixe on mène les deux tangentes à un cercle et la droite qui, avec la droite fixe, divise harmoniquement l'angle des deux tangentes {réelles ou imaginaires) , cette droite passe toujours par un mente point, ijui est le pâle de la droite fixe (' ).

Que l'on remarque maintenant que ce point fixe, se trouvant déterminé par les droites menées des différents points de la droite fixe, est indépendant de la position des deux points E, F que nous avons considérés sur cette droite. On en conclut ce second théorème :

Si de deux points d'une droite Jlxe on mène des tangentes à un corde, les diagonales du quadrilatère formé par ces deux couples de côtés opposés passent par un point fixe, quels que soient les deux points pris sur la droite; ce point fixe est le pôle de la droite.

CoROLLAiae. — Quand les deux points pris sur la droite sont infiniment voisins, les deux diagonales du quadrilatère deviennent

infiniment peu différentes et, à la limite, se confondent sui\'anl la corde de contact des deus tangentes uniques. D'où l'on conclut

Quand le sommet d'un angle circonscrit à un cercle glisse sur une droite, la corde de contact passe par un point Jixe, qui est le pôle de la droite.

III. — Proposai oni: relatives h ta llit'onc des pôles et polnircs.

692. Quand une corde d'un cercle tourne autour d'un point Jixe, la somme algébrique des valeurs inverses des distances de ses extrémités à la polaire de ce point reste constante.

Soient aa' [fig. 149) 1^ corde qui tourne autour du point fixe p, et p' le point où elle rencontre la polaire de ce point ; on a

Or les trois segments p'«, p'a', p'p sont proportionnels aux di tances ap, a' p' el pç des trois points a, a' elp k !a polaire. L'équ tion dcYient donc

Dans cette équation, les signes des perpendiculaires dépendent de leur direction à partir des points a, a'. Ainsi, dans la figure où le point p est pris au dehors du cercle, les deux perpendiculaires ap, a' p' ont des signes contraires. Elles auraient le même signe si le point p était intérieur au cercle.

693. Le théorème peut prendre cet énoncé plus général : Si autour d'un point fixe on fait tourner une corde d'un cercle, les distances de ses extrémités à un axe fixe quelconque, divisées respectivement par les distances des deux mêmes points à la polaire du point fixe, ont une somme constante. En effet, soient aP, a'V et pQ les perpendiculaires abaissées des trois points a, a' et p

PROPRIETES HEL.ITIVES .\

; fixe; on aura l'équation

ce qui dcmonlrc le thcorème.

694. Si de chatjiœ point d'une droite on mène deux tangentes à un cercle, la somme des distances do ces deux tangentes à un point fixe quelconque, divisées par leurs distances au pôle de la droite, est constante.

En effet, soient p le pôle de la droite, ni les points où la droite pin rencontre les doi polaire du point p; on a l'équation

le po!

■it fixe, etn, «', o' génies et la droite

Or les Irois rapports — > — r et —V sont égaux, respeclive-

ment, aux rapports des distances des deux tangentes et de la droite fixe aux deux points m et p; l'équation exprime donc l énoncé.

695. Si de chaque point d'une droite fixe on inèns deux tangentes à un cercle, le produit des sinus des angles quelles Jont avec cette droite est au carré du sinus de l'angle que le rayon mené du même point au centre du cercle fait avec cette même droite dans une raison constante.

En effet, on a [fig- 170)

F«L = --- sinOmL.

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