IV. — Quadrilatère circonscrit au cercle

701, Soit un quadrilalèrcArfEc^ circonscritau cercle (/^. i^S);

448 THALTij hk gkomktrie suPÉHiGUfiK. — chapitbë xwiii.

les droites n'b, ah' , qui joignent les points de contact des côtés opposés, se croisenl sur la diagonale AB, parce que les deux sommets A, B elle point d'intersection des deus droites ah', a'h sont trois points appartenant à la polaire du point de concours des deux droites aa', hh' (686 et 687). Par la même raison, le point d'intersection des deux droites aU ., a'h se trouve aussi sur la seconde diagonale dà' . Donc :

Quand un t/uadrilat.ére est circonscrit au cercle, ses deux diagonales et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés passent toutes quatre par le même point.

Remarque. — Quatre tangentes à un cercle donnent lieu à trois quadrilatères différents, parce que, l'une de ces tangentes étant regardée comme le premier cûté du quadrilatère, on peut prendre chacune des trois autres comme côté opposé.

Les trois quadrilatères sont A(/'B(/, AEBF et Erf'Frf. Si l'on considère la tangente en a' comme côté commun aux trois quadrilatères, le côté opposé sera la tangente en h dans le premier quadrilatère, la tangente en h' dans le second et la tangente en a dans le troisième.

Appliquant le théorème précédent aux trois quadrilatères, on en conclut que les quatre droites ab\ a'h, AB et dd' passent par un même point, comme nous l'avons dit; que les quatre ah, â.'b', AB, EF passent aussi par un même point R ; et les quatre aa', hh' , d'd, EF par un même point p.

702. Dans un quadrilatère circonscrit à un cercle, le point de rencontre des deux diagonales est le pôle de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Carie pôle de la droite qui joint les points de concours E, F des côtés opposés du quadrilatère circonscrit Arf'Bc? est le point de croisement des deux cordes de contact ab', a'h (687). Or ce point de croisement est le même que celui des deux diagonales AB, rf<i'(701). Donc, etc.

703. Quand un quadrilatère est circonscrit, à un cercle, les deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des

côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet a pour polaire le côté opposé.

Car, en appliquant le théorÈme précédent aux deux autres quadrilatères dont il a été question, on en conclut que le point R est !e pôle de la diagonale cid' et le point p celui de la diagonale AB ; de sorte que les trois droites AB, dd' et EF forment un triangle GRp dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Remarque. — Il suit de là que les deux diagonales sont deux droites conjuguées par rapport au cercle.

704. Quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, si l'on mène une transversale qui rencontre les deux diagonales en deux points, et qu'on prenne les deux autres points qui avec ceux-là, respectivement, divisent harmoniquement les deux diagonales, ces deux points et le pôle de la droite dans le cercle sont tous trois en ligne droite.

En eilet, soient L la transversale et L' la droite joignant les deux points qui, avec ceux oh L rencontre les deux diagonales, divisent harmoniquement ces diagonales. Si du point d'intersection des deux droites L et L' on mène les tangentes au cercle et des droites aux extrémités des deux diagonales, ces six droites seront en invo- Kition (676). Mais les deux droites L, L' sont les rayons doubles de l'involutîon, parce qu'elles divisent harmoniquement chacune des deux diagonales; donc elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux tangentes au cercle; donc le pôle de la droite L est sur la droite L' (688), Ce qu'il fallait protfver.

CoROLL

. — Si la droite L est à

nfin

il s

Quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, les milieux de ses deux diagonales et le centre du cercle sont sur une même droite.