Quand de concours dde concour droite

- Quadrilatère inscrit au cercle.

^uadrilatère est inscrit au cercle, les points

rs des tangentes en ses sommets opposés et les points Ts de ses côtés opposés sont quatre points en ligne

45o THAlTli D1! GÉOIIÉTRIE SUPRRIEDRE. ~ C

Car, danslequadillatère aa'h'h {Jig- i48), les quatre points E, F, p, R sont en ligne droite, parce qu'ils apparliennent à la polaire du point de croisement des dens diagonales oi', rt'è, les deux. R et p en vertu du théorème (686) et les deux E, F en vertu du théorème (687).

706. Dans un ijitaârilatbrfr inscrit au cercle, le poini do concours des deux diagonales est le pôle de la droite f/ui joint les points de concQuTS des côtés opposés.

Car le point de croisement des deux diagonales ah' , a' h est le pôle de la droite pR (686).

707. Quand un quadrilatère est inscrit au cercle, le point de rencontre des deux diagonales et les points de concours des côtés opposés sont trois points dont chacun a pour polaire la droite qui joint les deux autres.

Car GR est la polaire du point p, et G p la polaire du point R, de môme que la droite pR est la polaire du point de croisement des deux diagonales ah', a'h.

Remarque. — Il suit de là que les points de concours des côlés opposés d'un quadrilatère inscrit an cercle sont deux points conjugués par rapport au cercle.

708. Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle, les polaires d'un point quelconque relatives au cercle et aux angles formés par les deux couples de côtés opposés passent par un

même point.

En effet, soit F le point d'intersection des polaires d'un point P relatives aux deux angles formés par les deux couples de côtés opposés du quadrilatère ; la droite PP' rencontre ces côtés en deux couples de points a, a' et b, h', el le cercle en deux points e, f. Ces six points sont en involution (66S). Or les deux points P, P divisent harmoniquement les deux segments nrt', hh'', donc ils divisent aussi harmoniquement le troisième segment e/'(2H ). Donc la polaire du point P relative au cercle passe par le point P'.

l'nopBiETES niii.iTiVES a vs ceiiclr. ,j5i

V!. — Tiopriétés relat'wes h tiois cordes passant pttr un même point.

709. Quand trois cordes d'an cercle concourent en un même point, les droites menées d'un point de la circonférence à leurs extrémités forment un faisceau en invohaion.

Soient aa', bb', ce' {fig- i5o) les trois cordes qui passent par un même point o. Je dis que les droites menées d'un point m de la circonférenec à leurs extrémités forment trois couples en jnvolution. Il suffît de prouver que les quatre droites ma, mh, me, me' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre nia', ml', Hic'et mc(J88).

Joignons le point m au point p, et soit m' le point où la droite Hjp rencontre la circonférence. Les quatre droites Jua, mh, me, me' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre m'a, jn'b, m'c et m'c' menées du point m' aux quatre mêmes points a, b, c, c'(65i). Mais celles-ci ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites ma' , mV , mi/ et me, parce que ces huit droites se rencontrent deux à deux en quatre points situés en ligne droite (080). Donc les deux faisceaux de quatre droites ma, mb, me, me' et ma', mb', mcf, me ont leurs rapports anliarmoniques égaux. Ce qu'il fallait démontrer.

II est évident que, réciproquement : Si l'on prend un point de la circonférence d'un cercle pour sommet commun de trois angles dont les côtés soient en involution, les cordes sous-tendues par les trois angles concourront en un même point.

CoROLLAiiiË. ■ — Quand la transversale paa' tourne autour du point p {fig- i5i), les deux droites ma, ma' forment deux faisceaux en involution, et les droites menées aux extrémités A, A' du diamètre surlequeleslle point p sont les deux rayons rectangulaires de l'involution. Par conséquent, on a

tangiïf'iA.taiign'mA.- craist. (259, 3"),

et par suite

tanJ^AOn.tyiig-2-AOa'r.;; const.

Donc :

Quand une corde d'un cercle tourne autour d'un point fixe.

45a TRAITÉ DE GÊOUÉTBIK SUPÉRIEBBE. — CHAPITRE XXVIII.

les rayons menés du centre à ses extrémités font, avec le rayon qui passe par ce point, deux angles tels que le produit des tangentes des demi-angles reste constant.

710. Puisque les droites menées d'un, point de la circonférence aux trois couples de points a, a'; b, h' et c, d sont en involution, il existe entre leurs angles et, par conséquent, entre les demi-arcs compris entre ces six points, toutes les relations d'involution relatives à un faisceau de six droites. Par exemple, on aura les équations

VJl. — Propriétés relatives h iivls angles circo/tscii/s qui ont leujs sommets en. ligne dmile.

711. Quand trois angles circonscrits à un cercle ont leurs sommets en ligne droite, les segments qu'ils interceptent sur une tangente au cercle sont en infoluiion.

Soient A, B, C {fg. iSa) les sommets des trois angles et aa', hU, cd les segments qu'ils interceptent sur une tangente M; il suffit de prouver que les quatre points a, b, c, d ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a', h', d, c. Que par le point de rencontre de la droite ABC et de la tangente M on mène une seconde tangente M' qui rencontrera les côtés des trois angles en des points a, «'; Ê, Ê' et y, y'. Les quatre points a, b, c, c' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points et, 6, y,*/ (671). Mais celui-ci est égal à celui des quatre points a', l/, c', c, parce que les quatre droites aa', bê', c/, dy passent par un même point, qui est le pôle de la droite ABC (691 ). Donc le rapport anharmonique des quatre points a', b', d, c est égal à celui des quatre points a, b, c, d.

Corollaire. — Les deux tangentes ED, E'iy parallèles à la droite AK (/ïg-. i53) rencontrentla tangente M en deux points D,D' qui sont deux points conjugués de l'involution. Ces points sont vus ducentresousun angle droit (668, Coroll.); par conséquent, le pro-