PROPRIÉTÉS BELITII'ES A UN CERCLE
duit des Langcntcs des angles D0«, DOa' est constant (2S9, 3°). Mais ces angles sont les moitiés des angles que les deux tangentes A«, Aa' font avec la tangente DE, lesquels sont égaux à KAiï, KAii'. Il en résulte donc ce théorème :
Si de chaque point d'une droite on mène deux tangentes à un cercle, le produit des tangentes trigonométrie ues des demi-angles (ju elles font avec la droite est constant (').
Vin. — Figiirr.s polaires rcciproque.f.
712, Etant donnée unejlgure quelconque, les polaires de ses points forment une Jîgure cor/'élative .
En effet, les deux figures ont enire elles les relations descriptives qui appartiennent aux figures corrélatives, puisque à des points dans l'une correspondent des droites dans l'autre; et, d'après le théorème (700), les deux figures ont aussi les relations métriques des figures corrélatives ; donc elles sont corrélatives.
713, S'il se trouve dans la première figure une courbe, il lui correspond dans la seconde figure une autre courbe qui est l'enveloppe des polaires des différents points de la première. Cette courbe jouit d'une autre propriété, savoir, d'être le lieu des pôles des tangentes à la première courbe.
En effet, un point de la seconde courbe est l'intersection de deux tangentes infiniment voisines, lesquelles sont les polaires de deux points de la première courbe infiniment voisins. Donc ce point de la deuxième courbe est le pôle de la droite qui joint les deux points de la première ; mais, ces points étant infiniment voisins, cette droite est la tangente à la première courbe.
Il suit de là que la première courbe pourrait être formée au mojen de la deuxième, de la même manière que celle-ci a été formée avec la première, c'est-à-dire qu'il suffit de prendre soll les polaires des points, soit les pôles des tangentes de la seconde courbe.
454 TILUTB HE GKOMIJTRIE SU PÉRI EURE. — GIIAPITBE XWIII.
A raison de ces propriétés réciproques, les deux courbes soiiL dites polaires réciproques. Le cercle par rapport auquel on prend les pôles et polaires s'appelle le cercle auxiliaire ou directeur.
Tl-i. La courbe polaire d'un cercle est mie section conii/ue, c'est-à-dire une courue provenant do l' intersection d'un cône à base circulaire par un plan.
En effet, la rourbe polaire d'un cercle est le lieu des pôles des tangentes à ce cercle (les pôles étant pris par rapport au cercle auxiliaire). Considérons deux tangentes fixes el une tangente mobile ; il leur correspond sur la courbe polaire deux points fixes et un point variable. Aux deux points de rencontre des deux tangentes fixes et de la tangente mobile, lesquels font deux divisions homographiques (669), correspondent dans la figure polaire les droites menées des deux points fixes au point variable, et ces droites forment deux faisceaux bomographiques (700, CorolL). Donc, en appliquant ici la seconde démonstration du tbéorème (558), on en conclut que la courbe lieu du point d'intersection des rajons homologues de ces deux faisceaux est une section conique- c. Q. r. ».
715. Toutes les propriétés métriques des figures corrélatives s'appliquant d'elles-mêmes aux figures polaires réciproques (712), il en résulte ce théorème :
Etant pris dans le plan d'un cercle doux points fixes a, b et leurs polaires A, B, si l'on prend un autre point quelconque m et sa polaire M, le rapport des dislances de'ce point aux deux droites A, B sera au rapport des distances de la droite M aux deu.x points a, b dans une raison constante (599).
Ainsi l'on aura
Im.k) {^\.a) , (m,B) ~" '(M, 6) > '■
Pour déterminer la constante, on peut supposer que la droite M
ATIVES ,1 UN CERCLE. [55
soil à l'infini; ses distances aux deux points a, b seront égales, et son pôle m sera le centre O du cercle. On aura donc
(O.A), (0,B)-- Ij'équation devient
Ufautremarcjuer fjiie le rapport |--^-^ est égal à la valeur inverse du rapport des distances des deux points «, b au centre O (684),
, , ,- .06 e est-à-dire a rr— ■
On peut déterminer la constante X dVme antre manière qui conduit à une expression différente. Supposons que le point m se confonde avec b, et par conséquent la droite M avec la droite B; 11 vient
(MJ - • liLl) -, - f Ai)
(m.A).fM.«)(A.M (^«,B)-(M,É)-[B,«)'
