Les deux expressions de X montrent que

(Iî,«] (0,1!)' c'est-à-dire que :

Si l'on prend dans un cercle les pôles de deux droites, Imdistances respectives de chacune de ces droites au pâle de l'autre sont entre elles comme les distances des deux droites nu centre du cercle.

717. Dans ce théorème, les deux droites A, B sont quelconques ; supposons que la première soit fixe et la seconde mobile, et représentons celle-ci par M et son pôle par m ; on a l'équation

[M,0) iO,A)"

456 TIISITÉ 1>Ë GÉOMÉTRIE SUPÉmEUltE. — CHAPITRE XXVlll.

Si l'on considère la droite M comme appartenant à une première figure, son pôle m appartiendra à une figure corrélative (712), et cette équation pourra servir à passer des propriétés de l'une des deux figures à celles de l'autre.

Par exemple, on passe du théorème (663), concernant un poij'gone inscrit au cercle, au théorème (674), relatif à un polygone circonscrit, car on aura

!„,,.) = (M,„,.1M) „„ (,.,A! = ,M,„).iL.

718. Prenons ce théorème de Stewarl (') : «Si d'un point on abaisse sur les côtés d'un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle, des perpendiculaires, la somme de leurs puissances 7i(n étant <! m) ne dépendra que de la distance du point au centre du cercle, et non de la position du polygone. »

Concevons que la droite A soit un des côtés du polygone ; son point de contact a sera le sommet d'un polygone régulier inscrit au cercle, et l'on aura

Par conséquent, si la droite M change de position en conservant la même distance au point O, la somme des puissances n des dislances {M, a) restera constante; c'est-à-dire que :

Quand un polygone régulier de m côtés est inscrit à un cercle, lu somme des puissances n ( n étant plus petit que m ) des distances de ses sommets à une droite ne dépend que de la distance de cette droite au centre du cercle.

Observatioti. — On voit qu'il sera fort utile d'introduire les relations métriques générales des figures corrélatives dans la théorie des polaires réciproques, oià l'on a plus particulièrement considéré, jusqu'ici, les relations descriptives et les relations d'angles.

(■) Some gênerai ihearemi af ci^nsiderahle u,e U t!>« Mgher parts of MalUmatk-l .

3 A DUV\ CEilCr.i;!