Corollaire
,. , 1. . S'ff Ti . ■ Sg- S'g-
s appliqiie a ce rapport, etJ autre a ^- 11 s ensuit que ^> = - — ^-Z:
ce qui prouve, ainsi qu'il a été démontré directement (736), que. dans deux cercles, les pôles de l'axe radical sont conjugués harmoniques par rapport aux deux centres de similitude.
On arrive encore à cette conséquence en considérant le quadrilatère aba'l/; car les deux centres de similitude S, S' sont les points de concours des côtés opposés et les deux pôles^, g sont les points où les deux diagonales ae^, bh' rencontrent la droite SS'. Donc les quatre points sont en rapport harmonique (350).
740. Observation. — Du théorème (738), démontré de la seconde manière, on peut conclure que les deux cercles sont deux figures homologiques. Ici, cette démonstration importe peu; mais elle a l'avantage de s'appliquer à deux sections coniques, c'est-àdire que l'on démontre ainsi directement que deux coniques quelconques sont deux figures homologiques ; proposition l'ort importante dont on n'a pas encore donné, je crois, de démonstration directe, et que l'on a coutume de conclure, par voie de perspective ou de transformation, de la similitude ou de l'homologie de deux
741 . iSi de chaque point de l'axe radical de deux cercles on leur mène deux tangentes, le rapport des tangentes ti'igonométriques des angles que ces deux droites font avec l'axe radical est constant.
En effet, on a, dans le cercle c {fig. i6o),
tang^mcS.tanglniicS^ const. (709, coroll.].
Or l'angle hicS^MCS, et 7n,cS est le supplément de in,cC; l'équation devient donc
tangl flics timt£j^flmt
Viug^m,cC ce qui démontre le théorème.
PROPRIÉTÉS REL.^TIVES A DËVK CERCLES. 46g
742, Si d'un point de l'axe radical de deux cercles on leur mène des tangentes, les quatre points de contact sont sur un cercle décrit du point de l'axe radical comme centre; et ce cercle rencontre la ligne des centres des deux cercles proposés en deux points fixes (réels ou imaginaires) qui sont conjugués par rappoi't aux deux cercles.
Les quatre points de contact sont sur un cercle [fig- i(>i) ; cela est évident, puisque les tangentes aux deux cercles issues d'un même point w de l'axe radical sont égales (724),
Soient d, d' les points où le cercle qui a sou centre en a* rencontre l'axe radical, et appelons e,yies deux points (réels ou imaginaires) où ce cercle rencontre la ligne des centres Ce. On a
Oe.O/="Ô^'=Orf.0ir = Ô^' — ^^d.
Soient S et ç les points d'intersection des deux cercles proposés;
Ainsi, Oe est constant quel que soit le point o) pris sur l'axe radical, c'est-à-dire que le cercle décrit de ce point comme centre rencontre toujours la ligne des centres Ce dans les mêmes points. Maintenant, observons que Os.O<fi ^r: — Oe ^Oa.Oa', et par conséquent
Ce qui prouve que les deux points e, y sont conjugués harmoniques par rapport aux deiix a, «' (73). Ainsi le théorème est démontré.
Corollaire, — Il résulte du théorème que tous les cercles précédents, décrits des points w de l'axe radical comme centi-es, ont pour axe radical commun la ligne des centres Ce des deux cercles proposés, pTiisqu'ils rencontrent cette droite dans les mêmes points e, y (réels ou imaginaires).
TRAITÉ DE GÉOUBTRIE SUPÉftlEVKE.
V. — Propriétés reiatii^s au quadrilatère circonscrit à deux cercles.
743. Les diagonales ih, gk du quadrilalère iglik circonscrit à deux cercles [fig- 162] renconU-ent la ligne des centres en deux points dont cliacun a la même polaire dans les deux cercles.
En effet, quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, les deux diagonales ih, gfc et la droite SS' qui joint les points de concours des côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet a pour polaire le côté opposé (703). Donc le point e où la droite ih rencontre la droite SS' a pour polaire dans les deux cercles la droite gk ; et, pareillement, le point y a pour polaire la droite ih.
7àà. La circonférence décrite sur la droite qui joint les c de deux cercles, comme diamètre, passe par les quatre sommets du quadrilatère formé par les quatre tangentes communes aux deux cercles.
En effet, le rayon ch mené au point d'intersection des deux tangentes SA, SVi communes aux deux cercles divise en deux parties égales l'angle SA S' formé par ces tangentes, et le rayon Ch divise en deux parties égales le supplément de cet angle. Donc les deux rayons Ch et ch sont rectangulaires, et, par suite, le point/; est sur la circonférence décrite sur Ce comme diamètre. c. q. f. n.
745. Quand un quadrilatère est circonscrit h deux cercles, si d'un point on mène les tangentes aux deux cercles et des droites à deux sommets opposés du quadrilatère, ces trois couples de droites sont en involution.
En effet, les deux tangentes au premier cercle forment une involution avec les deux couples de droites menées aux deux couples de sommets opposés du quadrilatère (676), et de même les tangentes au second cercle. Donc trois quelconques de ces quatre couples de droites sont en involution (202).
Cette démonstration suppose que les quatre sommets du quadrilatère sont réels. En voici une seconde, qui s'applique au cas
où le quadrilatère n'aurait que deux sommets réels, savoir les deux centres de similitude.
autrement. Soient A, A' et B, ff les deux couples de tangentes (réelles ou imaginaires) menées d'un point P aux deux cercles; E, F les tangentes communes aux deux cercles menées par le centre de similitude S, et E', F' les deux tangentes communes issues du second centre de similitude S', tangentes réelles ou imaginaires.
On a, relativement aux tangentes au premier cercle issues des sommets du triangle PSS', l'équation (683)
smSPA.sinSPA' sinPS'E'.sitiPS' F' smS'SE.sinS'SF
inS'PA.sinS'PA'
et à l'égard du second cercle une équation semblable, dans laquelle les tangentes B, B' remplacent les tangentes A, A'. Les deux équations donnent évidemment celle-ci :
sinSPA . sinSPA' sin SPB . sin SPB'
sinS'PA.sinS'PA' sin S' PB. sin S' Pli' '
équation d'involntion (250).
Observation. ■ — Dans cette démonstration, les deux points S, S', que nous avons appelés les sommets opposés du quadrilatère circonscrit aux deux cercles, peuvent être définis par une autre propriété, qui est précisément celle sur laquelle est fondée la démonstration, savoir que chacun d'eux est le point de concours de deux tangentes, réelles ou imaginaires, communes aux deux cercles; ou , en d'autres termes encore, que, si par l'un des deux points on mène deux droites conjuguées par rapport à l'un des cercles, elles sont conjuguées par rapport à l'autre, d'où résulte que les tangentes aux cercles issues de ces points sont les mêmes.
746. Quand un quadrilatère est circonscrit à deux cercles, si l'on mène une tangente quelconque au premier et les deux tangentes parallèles au second, le produit des distances de la première tangente à ces deux-ci est au produit des distances de la même tangente à deux sommets opposés du quadrilatère dans une raison constante.
Supposons d'abord que les trois tangentes, au lieu d'être paraî-
473 TIWITÉ DE GKOIIÉTBIE SVPÉniEUHE. — CHAPITRE XXIX.
lèles, soient menées par un même point pris sur une droite fixe L; soient m, a et a' ces trois tangentes, et p., a, a.' les trois tangentes menées sembiablement d'un second point de la droite L. Soient h, U et 6, Ê' ies droites menées de ces deux points à deux sommets opposés du quadrilatère. Nous allons prouver que l'on a la relation
in(L,i).5.n(L,t') n[^.,gl.sin(f.,g') sin(L,«j.sm;L,«')-sm(L,6).sinlL,r)
En effet, considérons le triangle formé parla droite L et les deux tangentes ni et [j- au premier cercle ; de deux de ses sommets partent les quatre tangentes au second cercle «, fl' et a, a'; soient A, A' les tangentes menées par le troisième sommet, situé à l'intersection des deux tangentes m et fx ; on a dans ce triangle ( 683 )
(p.-') Bin(»,A).,
sin(m,«).(
sin(L,«).sinlL,«')'sinlL,«).sinlL,«') sia(p, A).sin(f., A' )
Appelons B, B' les droites menées du point d'intersection des deux droites m et jj- aux deux sommets du quadrilatère. Trois couples de droites aboutissent à ces deux sommets, savoir b, b' \ ë, 6' et B, B', Ces droites partent des trois sommets du triangle formé par les deux tangentes m, [X et la droite L ; on a donc (683)
sin(^.f-),sm(m,6n . sin(p, ë) .sin(^, g') ^ sin(<».B] ■sin(m,B') sin(L,6).SLnlL,i')-sintL,6).sm(L,S') sm(f., Bj.sin (;., B'J '
Or le second membre de cette équation est égal à celui de l'équation précédente, parce que les droites m, fi, A, A' et B, B', issues d'un même point, sont en involution (745); les premiers membres des deux équations sont donc égaux ; ce qui donne l'équation que l'on veut démontrer.
Cela posé, on peut écrire l'équation de manière qu'elle ne contienne que des rapports anharmoniques, de sorte que, si l'on mène une transversale quelconque qui rencontre la droite L et les tangentes m, a, a' et b, V en des points désignés par les mêmes lettres, on aura
ma. ma' mh . mb' __
La. La' ' ÏXlÏ"' ^ <'""**-'
pnopiKETLS HEUTivES A m.vs. ciïncLEs. 4;
quel que soit le poinl do la droite L par lcf|iHd on a mené les tan gentcs.
Supposons maintenant que la droite L soit à l'intiiii ; les tan génies a, a' et les droites b, h' seront parallèles, et l'équation f réduit à
On peut prendre la transversale, qui est de direction arbitraire, perpendiculaire aux tangentes; alors l'équation exprime le théorème énoncé.
Ohservaiion. — L'observation relative au théorème précédent (745) s'applique ici ; c'est-à-dire que le théorème comprend le cas où le quadrilatère circonscrit aux deux cercles serait imaginaire et n'aurait de réels que deux sommets opposés.
